А. Первичная обработка исходной статистики

<11 12 131415 16 17 >

В соответствии с физическим определением плотности вероятности F(t) ее опытное значение F* в любой точке T = t₁ рассчитывается по формуле

F(t=t₁) 11

где — число отказов, приходящихся на j-й интервал длиною на оси возможных значений случайной величины Т (интервал накрывает точку t_j). Обычно точка t_j выбирается в середине .

На этапе первичной обработки исходной статистики, исходя из формулы (11), необходимо определить:

— минимальное (t_min) и максимальное (t_max) значения из статистического ряда полученных величин Т=t_i;

— длину частных интервалов группирования , на которые следует разбить весь полученный интервал R=t_max—t_min;

— значения величин в каждом частном интервале ;

— статистические значения элементов вероятности отказов для каждого интервала :

— опытные статистические значения F*;

— заполнить таблицу результатов первичной обработки статистики.

Значения t_min, t_max берутся непосредственно из полученного статистического ряда величин t_i Длина всего интервала R = t_max- t_min дает первое представление о том, что наиболее вероятное значение случайной величины Т может быть заключено между t_min, t_max, т. е. неизвестная плотность вероятности F(t) распределена примерно в этом отрезке значений случайной величины Т.

Длина интервала At может быть ориентировочно выбрана с использованием эмпирической формулы:

, 13

где k — число частных интервалов .

Значение числа k сначала ориентировочно оценивается по формуле k 1 +3,3 lg n и обычно выбирается в пределах k =10 30.

Подсчет количества реализаций по интервалам группирования практически осуществляется следующим образом. Заблаговременно заготовляется бланк, образец которого дан в табл.10. Таблица разбивается на k колонок, представляющих собой интервалы . Пусть, например, t_max=200 ч, t_min = 1 ч, тогда значения и k целесообразно выбрать следующие:

Δt ≈ (200 -1) /( 1+3,3 lg 100) ≈ 26 ч (принимаем Δt =20 ч)

K ≈ 1+ 3,3 lg 100 ≈ ( t_max – t_min )/ Δt ≈ (200-1)/20 ≈ 10.

Таблица 10 Экспериментальные данные примера

ΔП^*₁

ΔП^*₂

ΔП^*₃

…

ΔП_j

…

ΔП

Количество статистических реализаций случайной величины t по интервалам Δt

X Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx

Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx xx

X XX XX XX XX XX XX XX

X XX XX XX

X XX XX

XX XX

Значение середины интервалов Δt

t_j

210 230

Величина интервалов

Δt

Δt’=60

Статистическое значение вероятности отказов

ΔQ^*_j

ΔQ^*₁

ΔQ^*₂

ΔQ^*₃

…

ΔQ^*_j

…

ΔQ^*_j

Опытные значения плотности вероятности

F^*_j

F^*₁

F^*₂

F^*₃

…

F^*_i

…

F^*_n

В каждой колонке приводится значение середины интервала

t₁= t_j (t_j = 10; 30; 50; 70;90; 110; 130; 150; 170; 190) либо крайние правые границы интервалов t_j+ /2— (20; 40; 60; 80; 100;120; 140; 160; 180; 200). После этого рассматривается первое число из имеющегося неупорядоченного статистического ряда T=t_i и определяется, к какому интервалу следует отнести это число. Например, t₁ = 75 ч. В этом случае в четвертой колонке табл.10 с серединой t_j = 70 ч и правой границей 80 ч ставится «крестик», а число t_i = 75 ч вычеркивается из ряда. Затем рассматривается второе число ряда T = t₂ и заносится «крестик» в соответствующую колонку табл.10 и т. д.

После того, как все n = 100чисел T=t_i рассортированы по колонкам таблицы, производится подсчет чисел для каждого интервала .

Пусть значения опытных чисел получены такие, как в табл. 10 ( =31, = 22, =13, =13, затем 7, 5, 4, 2, 2 и 1). Разумеется, должно выполняться условие:

После того, как определены величины , необходимо проверить, нет ли слишком малых значений (например, < 3 4). Так как малые значения дают недостаточную информацию об истинной закономерности распределения изучаемой случайной величины на этом интервале, то рекомендуется соседние интервалы с малым значением укрупнить в один, длина которого будет больше чем .

В нашем примере целесообразно последние три интервала объединить в один, длиной ' = 3 = 60 ч с новым числом — 5. Окончательно имеем всего k = 8 интервалов, семь первых длиной по 20 ч и один последний длиной 60 ч.

Теперь рассчитываются опытные значения элементов вероятности и для всех интервалов, и результаты первичной обработки статистики заносятся в табл.10.

Б. Графическое изображение статистических данных

По результатам первичной обработки исходной статистики (табл.10) строится гистограмма, являющаяся наглядным представлением полученных исходных статистических данных. Гистограмма представляет собой графическую зависимость статистических значений в точках T = t_j_. Значение функции , принимается постоянным для всего интервала , поэтому графически гистограмма имеет вид отдельных прямоугольников с основанием шириной и высотой, равной .

Гистограмма обладает рядом важных свойств:

— напоминает неизвестную искомую функцию F(t) т. е. ,

— площадь, ограниченная гистограммой, равна единице, т. е.

, 14

— используя гистограмму, можно определить среднестатистическое значение , которое примерно равно неизвестному значению средней наработки на отказ Т_о (т. е. математическому ожиданию случайной величины T), по формуле:

. 15

Гистограмма для рассмотренного примера изображена на рис. 16.

Так как опытное значение элемента вероятности отказа системы на интервале равно , то площадь любого прямоугольника гистограммы численно равна соответствующей величине

Величины являются приближенной статистической оценкой неизвестных вероятностей отказов соответствующих элементов. Таким образом, построив гистограмму , получим первое наглядное представление о форме неизвестной функции F(t), т. е. гистограмма помогает сделать вывод об аналитической зависимости неизвестного закона F(t). Но пока еще неизвестен вид этого закона, т. е. его аналитическая форма.

<11 12 131415 16 17 >

Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 457;

Поиск по сайту

Узнать еще