А. Первичная обработка исходной статистики

В соответствии с физическим определением плотности вероятности F(t) ее опытное значение F* в любой точке T = t1 рассчитывается по формуле

F(t=t1) 11

где — число отказов, приходящихся на j-й интервал длиною на оси возможных значений случайной величины Т (интервал накрывает точку tj). Обычно точка tj выбирается в середине .

На этапе первичной обработки исходной статистики, исходя из формулы (11), необходимо определить:

— минимальное (tmin) и максимальное (tmax) значения из статистического ряда полученных величин Т=ti;

— длину частных интервалов группирования , на которые следует разбить весь полученный интервал R=tmax—tmin;

— значения величин в каждом частном интервале ;

— статистические значения элементов вероятности отказов для каждого интервала :

12

— опытные статистические значения F*;

— заполнить таблицу результатов первичной обработки статистики.

Значения tmin, tmax берутся непосредственно из полученного статистического ряда величин ti Длина всего интервала R = tmax- tmin дает первое представление о том, что наиболее вероятное значение случайной величины Т может быть заключено между tmin, tmax, т. е. неизвестная плотность вероятности F(t) распределена примерно в этом отрезке значений случайной величины Т.

Длина интервала At может быть ориентировочно выбрана с использованием эмпирической формулы:

, 13

где k — число частных интервалов .

Значение числа k сначала ориентировочно оценивается по формуле k 1 +3,3 lg n и обычно выбирается в пределах k =10 30.

Подсчет количества реализаций по интервалам группирования практически осуществляется следующим образом. Заблаговременно заготовляется бланк, образец которого дан в табл.10. Таблица разбивается на k колонок, представляющих собой интервалы . Пусть, например, tmax=200 ч, tmin = 1 ч, тогда значения и k целесообразно выбрать следующие:

Δt ≈ (200 -1) /( 1+3,3 lg 100) ≈ 26 ч (принимаем Δt =20 ч)

K ≈ 1+ 3,3 lg 100 ≈ ( tmax – tmin )/ Δt ≈ (200-1)/20 ≈ 10.

Таблица 10 Экспериментальные данные примера

 

    ΔП*1 ΔП*2 ΔП*3 ΔПj ΔП  
Количество статистических реализаций случайной величины t по интервалам Δt X Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx     Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx xx     X XX XX XX XX XX XX XX     X XX XX XX XX XX XX XX     X XX XX XX   X XX XX     XX XX   XX   XX   X
Значение середины интервалов Δt tj   210 230
Величина интервалов Δt Δt’=60
Статистическое значение вероятности отказов ΔQ*j ΔQ*1 ΔQ*2 ΔQ*3 ΔQ*j ΔQ*j
Опытные значения плотности вероятности F*j F*1 F*2 F*3 F*i F*n

В каждой колонке приводится значение середины интервала

t1= tj (tj = 10; 30; 50; 70;90; 110; 130; 150; 170; 190) либо крайние правые границы интервалов tj+ /2— (20; 40; 60; 80; 100;120; 140; 160; 180; 200). После этого рассматривается первое число из имеющегося неупорядоченного статистического ряда T=ti и определяется, к какому интервалу следует отнести это число. Например, t1 = 75 ч. В этом случае в четвертой колонке табл.10 с серединой tj = 70 ч и правой границей 80 ч ставится «крестик», а число ti = 75 ч вычеркивается из ряда. Затем рассматривается второе число ряда T = t2 и заносится «крестик» в соответствующую колонку табл.10 и т. д.

После того, как все n = 100чисел T=ti рассортированы по колонкам таблицы, производится подсчет чисел для каждого интервала .

Пусть значения опытных чисел получены такие, как в табл. 10 ( =31, = 22, =13, =13, затем 7, 5, 4, 2, 2 и 1). Разумеется, должно выполняться условие:

После того, как определены величины , необходимо проверить, нет ли слишком малых значений (например, < 3 4). Так как малые значения дают недостаточную информацию об истинной закономерности распределения изучаемой случайной величины на этом интервале, то рекомендуется соседние интервалы с малым значением укрупнить в один, длина которого будет больше чем .

В нашем примере целесообразно последние три интервала объединить в один, длиной ' = 3 = 60 ч с новым числом — 5. Окончательно имеем всего k = 8 интервалов, семь первых длиной по 20 ч и один последний длиной 60 ч.

Теперь рассчитываются опытные значения элементов вероятности и для всех интервалов, и результаты первичной обработки статистики заносятся в табл.10.

Б. Графическое изображение статистических данных

По результатам первичной обработки исходной статистики (табл.10) строится гистограмма, являющаяся наглядным представлением полученных исходных статистических данных. Гистограмма представляет собой графическую зависимость статистических значений в точках T = tj. Значение функции , принимается постоянным для всего интервала , поэтому графически гистограмма имеет вид отдельных прямоугольников с основанием шириной и высотой, равной .

Гистограмма обладает рядом важных свойств:

— напоминает неизвестную искомую функцию F(t) т. е. ,

— площадь, ограниченная гистограммой, равна единице, т. е.

, 14

— используя гистограмму, можно определить среднестатистическое значение , которое примерно равно неизвестному значению средней наработки на отказ То (т. е. математическому ожиданию случайной величины T), по формуле:

. 15

Гистограмма для рассмотренного примера изображена на рис. 16.

Так как опытное значение элемента вероятности отказа системы на интервале равно , то площадь любого прямоугольника гистограммы численно равна соответствующей величине

Величины являются приближенной статистической оценкой неизвестных вероятностей отказов соответствующих элементов. Таким образом, построив гистограмму , получим первое наглядное представление о форме неизвестной функции F(t), т. е. гистограмма помогает сделать вывод об аналитической зависимости неизвестного закона F(t). Но пока еще неизвестен вид этого закона, т. е. его аналитическая форма.






Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 108; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.