Точная верхняя и точная нижняя грани множества

Определения точной верхней грани и точной нижней граней множества точной верхней грани множества; точной нижней грани множества

Пусть множество ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называют точной верхней гранью множества(или просто верхней гранью) и обозначают sup X (supremum — наибольший). Если множество ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу это множество, называют точной нижней гранью множества(или просто нижней гранью) обозначается inf X (infimum — наименьший).

По этому определению имеем, что число β = sup X, если выполняются следующие два условия:

Рис. 25

Þ

точную верхнюю грань множества нельзя подвинуть влево.

Аналогично, число , если выполняются условия:

x Рис. 26

Þ

точную нижнюю грань множества нельзя подвинуть вправо.

На рисунках 25 и 26 введены обозначения: множество – это множество всех чисел, ограничивающих Х сверху, и множество – это множество всех чисел, ограничивающих Х снизу. Очевидно, что и , но и для и для .

Учитывая этот разбор, можно записать наряду с данным выше описательным определением и формальное определение точных граней множества:

Пример 2 (определение точных граней множества)

1) — ограничено сверху и снизу,
— ограничено сверху и снизу,

следовательно, точная нижняя и точная верхняя грани множества могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству;

2) выполняется неравенство множество является ограниченным; sup X = 1, inf X = 0;

3) — ограниченное множество, sup X = 3, inf X = –3;

4) — ограниченное множество, sup X = inf X = 5.