Определения ограниченности множества

Рассмотрим некоторое непустое подмножество X множества .

Определения ограниченности множества ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества

1. Множество называют ограниченным сверху множеством, если $ число , такое что для выполняется неравенство : (1) Число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X. 2. Множество называют ограниченным снизу множеством, если $ число , такое что для выполняется неравенство : (2) Число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X. 3. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством: (3)

Множество X, не являющееся ограниченным сверху, называется неограниченным сверху множеством, то есть

. (1')

Множество X, не являющееся ограниченным снизу, называется неограниченным снизу множеством, то есть

. (2')

Множество, не являющееся ограниченным, называют неограниченным множеством, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу или неограниченным и сверху и снизу.

Пример 1 (описания ограниченности множеств)

1) — неограниченное множество, т. к. ограничено снизу ( ), но не является ограниченным сверху;

2) — ограничено, так как ограничено и

сверху и снизу: .

Замечание (к определениям ограниченности множества)

1.

Очевидно из определений (1), (2), (3), что если множество X обладает свойством ограниченности (сверху, снизу или в целом), то можно указать сколько угодно чисел a и (или) b, ограничивающих это множество сверху и (или) снизу. Например, для ограниченного снизу множества выполняется не только неравенство , но и неравенства , , ,… Поэтому все числа a, ограничивающие это множество снизу, образуют множество .

2.

Сравните определения (1) и (1'), (2) и (2'). Записи (1) и (2) определяют качество ограниченности, записи (1') и (2') определяют отрицание ограниченности, но определяют в позитивной форме, то есть без частицы “не”. Заметьте, что при определении отрицания некоторого понятия символ существования ($) заменяется на символ всеобщности ("), а символ всеобщности заменяется на символ существования. Это есть одно из правил формальной логики, которым пользуются при построении отрицаний в позитивной форме.