Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(уравнения Л. Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами , , и с центром в точке А, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ; ; (рис. 3).

На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил .

Установим связь между гидростатическим давление в точке А ( ) и массовыми силами.

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда

; ; ;

; ; .

Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера

Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.

; и т.д.

Здесь ; и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.

Равнодействующая массовых сил .

Условие равновесия выделенного параллелепипеда:

; ;

Рассмотрим случай .

,

или в развернутом виде:

где ;

– проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .

После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей ; .

Таким образом, условием равновесия жидкости будет

(13)

В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.

Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.