Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии связывает изменение кинетической энергии системы точек (твёрдого тела) с работой сил, вызывающих это изменение. Для вывода этой теоремы, в случае одной - той материальной точки, умножим обе части основного дифференциального уравнения динамики точки

,

где - равнодействующая внешних сил, действующих на точку, а - равнодействующая внутренних сил, скалярно на элементарное перемещение точки , получим

(3.94)

Замечая, что , находим

в правой части равенства (3.94) стоит выражение элементарной ра­боты внешних и внутренних сил; следовательно,

= ,

или, вспоминая определение кинетической энергии,

(3.95)

Это соотношение представляет теорему об изменении кинети­ческой энергии материальной точки в дифференциальной форме: приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном участке пути равно элементарной работе прило­женных к точке сил на этом участке пути.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки легко обобщается на случай системы материальных точек. Суммируя уравнения (3.95) по всем точкам, включенным в систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть сумма кине­тических энергий всех ее точек, получим

Итак,

(3.96)

т. е. приращение кинетической энергии системы материальных точек на элементарном участке пути равно сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом участке пути. Интегрируя уравнение (3.96) между пределами, соответствующими начальному и конечному положениям движущейся системы, и называя соответственно через и кинетическую энергию в этих положе­ниях, имеем теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме

(3.97)

Для ряда приложений имеет значение другая формулировка до­казанной теоремы: производная по времени от кинетической энергии равна мощности действующих на точку сил.

,

т.е. производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна мощности внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.