Теорема об изменении кинетической энергии.
Теорема об изменении кинетической энергии связывает изменение кинетической энергии системы точек (твёрдого тела) с работой сил, вызывающих это изменение. Для вывода этой теоремы, в случае одной - той материальной точки, умножим обе части основного дифференциального уравнения динамики точки
,
где - равнодействующая внешних сил, действующих на точку, а - равнодействующая внутренних сил, скалярно на элементарное перемещение точки , получим
(3.94)
Замечая, что , находим
в правой части равенства (3.94) стоит выражение элементарной работы внешних и внутренних сил; следовательно,
= ,
или, вспоминая определение кинетической энергии,
(3.95)
Это соотношение представляет теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме: приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном участке пути равно элементарной работе приложенных к точке сил на этом участке пути.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки легко обобщается на случай системы материальных точек. Суммируя уравнения (3.95) по всем точкам, включенным в систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий всех ее точек, получим
Итак,
(3.96)
т. е. приращение кинетической энергии системы материальных точек на элементарном участке пути равно сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом участке пути. Интегрируя уравнение (3.96) между пределами, соответствующими начальному и конечному положениям движущейся системы, и называя соответственно через и кинетическую энергию в этих положениях, имеем теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме
(3.97)
Для ряда приложений имеет значение другая формулировка доказанной теоремы: производная по времени от кинетической энергии равна мощности действующих на точку сил.
,
т.е. производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна мощности внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 454;