Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
В кинематике была получена формула, связывающая абсолютную и относительную производные переменного вектора
(3.62)
Напомним, что здесь - абсолютная производная, выделяемая неподвижным наблюдателем; - относительная производная, вычисляемая подвижным наблюдателем; - угловая скорость подвижного наблюдателя. Перейдем к составлению уравнений движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О. Кинетический момент твердого тела в этом случае выражается формулой
(Свяжем систему осей Oxyz с вращающимся телом и воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента с учётом формулы (3.62)
(3.63)
Тензор инерции твердого тела в осях, связанных с самим телом, будет постоянным, поэтому относительная производная его будет , и выражение (3.63) следует записать в виде
Тогда векторное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной точки будет иметь вид
(3.64)
Предполагая оси х, у, z главными, имеем
Проекции уравнения (3.64) на оси, связанные с телом, будут
(3.65)
Уравнения (3.65) называются динамическими уравнениями Эйлера.
Если удобнее рассматривать уравнения вращения в проекциях на подвижные оси х', у', z', не связанные с твердым телом (а такие случаи бывают, например, в теории гироскопов), то уравнение (3.65) следует предварительно преобразовать: , Здесь - относительная производная кинетического момента, вычисленная наблюдателем, связанным с системой осей х', у',z', а - угловая скорость этой системы. Проектируя изменённое уравнение (3.65) на оси х', у',z' - получаем
Полученные уравнения называют видоизмененными уравнениями Эйлера.
Пример. Рассмотрим вопрос об устойчивости вращения твердого тела по инерции. Пусть твердое тело, закрепленное в точке О, вращается вокруг одной из главных осей инерции (например, вокруг оси Ох), и движущие моменты полностью компенсируют моменты сопротивлений, т. е. . Тогда решение удовлетворяет уравнениям Эйлера (3.65) с нулевыми правыми частями. Будет ли это решение устойчивым? Для выяснения этого вопроса исследуем возмущенное движение, угловые скорости которого представляются выражениями
(3.66)
- малые возмущения (малые функции времени). Подставляя величины (3.66) в уравнения Эйлера с нулевыми правыми частями и отбрасывая величины второго порядка малости, получим
(3.67)
Из первого уравнения (3.67) следует, что = const; оставшиеся неизвестные ( ) будут решениями уравнения
,
где
(3.68)
Очевидно, что устойчивость невозмущенного движения будет иметь место при ограниченных решениях уравнения (3.68), что, в свою очередь, будет при положительных значениях коэффициента . Тогда условие устойчивости нашего невозмущенного движения переписывается так: , и оно будет выполнено при вращении по инерции вокруг главной оси с наибольшим или с наименьшим моментом инерции.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 474;