Преобразование моментов инерции.

1. Рассмотрим задачу об изменении моментов инерции относительно параллельных осей. Введём две системы координат: Оxyz и O'x'y'z' (рис 55). Связь между координатами в обеих системах запишется в виде:

По определению моментов инерции имеем

.

X

Y

Z

Z'

Y'

X'

a

b

c

O

O'

Рис 55

Первое слагаемое – это момент инерции относительно оси O'Z', а по определению центра масс последние два слагаемые есть

Окончательно получаем

Если начало координат О' является центром масс тела, то

(ось O'Z' в этом случае является центральной) и получаем известную формулу Гюйгенса

(3.49)

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Следствием формулы (62) является утверждение, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно другой параллельной оси. Аналогично получаются формулы для осевых моментов инерции для двух других осей. Но остаётся вопрос: а как изменяются центробежные моменты, остаются ли главными новые оси инерции? В новых осях центробежные моменты имеют вид :

Если все три оси системы O'x'y'z' являлись главными и центральными, то и новые оси также будут главными и центральными ( начало О' находилось в центре масс). Если все три оси главные, но при этом, например, только ось O'Z' - центральная ( , а ), то ось O'Z' перестаёт быть главной, она будет главной только в точке, где .

X

X'

Y'

Y

Z,Z'

φ

φ

Рис 56

Рассмотрим теперь, как изменяются моменты инерции при повороте системы координат (рис.56). В этом случае

Преобразуем интеграл

тогда окончательно получим

Для двух остальных центробежных моментов инерции имеем

Из приведённых формул видно, что при повороте вокруг главной оси O'Z' оси OX и OY перестают быть главными. Но из формулы (65) следует интересный вывод: если оси OX' и OY' не главные, то поворотом на угол

оси OX и OY становятся главными.

Осевой момент инерции при повороте, очевидно, не меняется, а два остальных изменятся. Действительно (в дальнейшем будем осуществлять переход от осей Оxyz к осям O'x'y'z', при этом ) для получим

=

Проведя те же выкладки для , имеем

Анализируя полученные результаты для осевых моментов инерции, можно записать

Мы получили первый инвариант тензора инерции.

Рассмотрим пример. Найти со­отношение между радиусами ци­линдра и его дли­ной l, при котором тензор инерции полого ци­линдра в его центре инерции явля­ется шаровым тензором. Вводя систему осей х,у,z с началом в точке С правим ось z вдоль геометриче­ской оси цилиндра. Формулы для моментов инерции в данном случае пре­образуются к виду

(3.50)

Применяя цилиндрические координаты, имеем где объем V полого цилиндра дается формулой .

Тогда интегралы, входящие в формулы (3.50), вычисляют­ся так:

(3.51)

.

Шаровой тензор имеет равные осевые моменты инерции, т.е. , согласно результатам (3.51) это будет иметь место при .