Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть рассматриваются интегралы типа . Если там есть ещё и зависимость от или , то всё равно их можно записать через синус и косинус, поэтому можем считать, что вид именно такой: именно
Универсальная тригонометрическая подстановка и её применение.
Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она иногда приводит к громозким вычислениям, зато универсальна. При этой замене:
, , , .
Докажем формулы, по которым преобразуются синус и косинус.
Можно записать по формуле двойного угла, рассматриввая целый угол как удвоенный половинный:
= = чтобы всё выразилось через , которое равно желательно добиться того, чтобы синус и косинус половинного угла делились друг на друга. Для этого мы можем поделить и домножить на косинус ещё раз:
= = .
Вспомним, что , тогда далее получается
= .
Аналогично = = =
= = .
Пример. Вычислить интеграл. .
Решение. = .
Свели к рациональной дроби. Далее, преобразуем её: = = =
= = =
= .
Сделаем обратную замену, и получим ответ:
= .
Как видим, при действии универсальной тригонометрической подстановки могут получаться громоздкие 4-этажные дроби. Поэтому для различных частных случаев, где функция обладает какими-то свойствами чётности, придумали другие подстановки.
Дата добавления: 2017-04-05; просмотров: 1163;