Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений.

Иррациональности.

Если в подынтегральной функции присутствует корень какого-то порядка , то есть , то замена позволяет полностью избавиться от корней в выражении и свести к рациональной дроби.

Из следует , , то есть как видим, пересчёт дифференциала при замене тоже не добавляет ничего, кроме константы и целой степени от .

Рассмотрим сразу более общий случай: если функция содержит несколько корней разного порядка, т.е. .

Тогда нужна замена на корень порядка r = НОК (r₁,...,r_k).

r это наименьшее общее кратное всех порядков, которые там есть.

Именно тогда все корни перейдут в целые степени от . Так, к примеру, если , то НОК = 6. Замена: , тогда: , . Каждый корень становится целой степенью от :

= ,

= .

В общем случае степень равна , то есть, какого множителя не хватает до наименьшего общего кратного, такая степень от и получится.

Рассмотрим на примере, содержащем 3 разных корня.

Пример Вычислить интеграл .

НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена .

Тогда . Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.

Другие корни пересчитываются аналогично:

,

.

Надо ещё также пересчитать дифференциал для новой переменной .

.

Теперь подставим всё это в интеграл.

= = =

= = , и после обратной замены:

.

Если т.е. под корнем некоторое линейное выражение, то решается практически так же, замена , где r это тоже наименьшее общее кратное. Более сложная ситуация, когда под корнем разные линейные функции.

Например, и . Если один корень заменить на t , , то , тогда . Такие будут рассмотрены чуть позже в этом параграфе, они решаются с помощью тригонометрических функций.

Если интеграл вида (где r - целое число), то замена сводят всё к рациональной дроби от t.

то есть выражено в виде рациональной дроби от , содержащей только целые степени.

Дифференциал тоже выразится в виде рациональной дроби:

= =

.