Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений.
Иррациональности.
Если в подынтегральной функции присутствует корень какого-то порядка , то есть , то замена позволяет полностью избавиться от корней в выражении и свести к рациональной дроби.
Из следует , , то есть как видим, пересчёт дифференциала при замене тоже не добавляет ничего, кроме константы и целой степени от .
Рассмотрим сразу более общий случай: если функция содержит несколько корней разного порядка, т.е. .
Тогда нужна замена на корень порядка r = НОК (r1,...,rk).
r это наименьшее общее кратное всех порядков, которые там есть.
Именно тогда все корни перейдут в целые степени от . Так, к примеру, если , то НОК = 6. Замена: , тогда: , . Каждый корень становится целой степенью от :
= ,
= .
В общем случае степень равна , то есть, какого множителя не хватает до наименьшего общего кратного, такая степень от и получится.
Рассмотрим на примере, содержащем 3 разных корня.
Пример Вычислить интеграл .
НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена .
Тогда . Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.
Другие корни пересчитываются аналогично:
,
.
Надо ещё также пересчитать дифференциал для новой переменной .
.
Теперь подставим всё это в интеграл.
= = =
= = , и после обратной замены:
.
Если т.е. под корнем некоторое линейное выражение, то решается практически так же, замена , где r это тоже наименьшее общее кратное. Более сложная ситуация, когда под корнем разные линейные функции.
Например, и . Если один корень заменить на t , , то , тогда . Такие будут рассмотрены чуть позже в этом параграфе, они решаются с помощью тригонометрических функций.
Если интеграл вида (где r - целое число), то замена сводят всё к рациональной дроби от t.
то есть выражено в виде рациональной дроби от , содержащей только целые степени.
Дифференциал тоже выразится в виде рациональной дроби:
= =
.
Дата добавления: 2017-04-05; просмотров: 1351;