Задача о вершинном покрытии.

Определение 4.24. Множество вершин образует вершинное покрытие графа , если каждое ребро инцидентно хотя бы одной вершине из множества . Покрытие с минимальным числом вершин называется минимальным (оптимальным).

На рис. 4.5 множество вершин (3, 4) не образует покрытие, так как ни одно из ребер множества (1, 4) не инцидентно какой-либо из вершин множества (3, 4). Множество вершин (1, 3, 4) образует покрытие.

Сформулируем модель поиска минимального взвешенного покрытия графа в виде задачи целочисленного программирования. Введем бинарных переменных:

Тогда целевая функция имеет вид

,

условия инцидентности для всех ребер запишутся в виде

В задаче о взвешенном вершинном покрытии каждой вершине отнесен вес . В этом случае целевая функция имеет вид

,

ограничения – те же.

4.1.4. Задача об изоморфизме графов.

Рассмотрим графы и ; . Говорят, что эти графы изоморфны, если можно установить взаимно однозначное соответствие между их вершинами и ребрами так, что если вершины графа соответствуют вершинам графа , то ребро , если оно существует, соответствует ребру , если оно существует. Если ребро соответствует ребру , то вершины соответствуют вершинам . Из данного определения следует, что изоморфные графы отличаются лишь нумерацией их вершин.

Рассмотрим простой пример (рис. 4.6). Способ перенумерации задается подстановкой

,

причем в первой строке указаны вершины графа , а во второй ‑ соответствующие им вершины графа , при этом соответствие ребер имеет вид

Рис. 4.6. Изоморфные графы.

В общем случае для изоморфных графов требуется указать подстановку

, (4.2)

в которой вершине графа соответствует вершина графа таким образом, чтобы выполнялось соответствие ребер.

Сформулируем задачу об изоморфизме графов в терминах целочисленного программирования. Пусть и ‑ матрицы смежности графов и соответственно. Как известно [Kristof], для изоморфизма этих графов необходимо и достаточно существование такой невырожденной матрицы , имеющей одну единицу в каждой строке и каждом столбце, чтобы выполнялось условие

[7] (4.3)

Условие (4.3) перепишем в виде

, (4.4)

что равносильно следующим условиям:

.

Задача о поиске матрицы сводится к минимизации функции

при условиях

Если графы и изоморфны, то минимальное значение функции равно нулю и матрица определяется через подстановку (4.2) следующим образом:

а все остальные ее элементы равны нулю. В нашем примере , если вершина в графе имеет номер в графе :


 

 

 

Рассмотрим другие целевые функции в задаче об изоморфизме графов:

.

Эта целевая функция, в отличие от , не является дифференцируемой.

Обратим внимание на то, что каждая из сумм

может принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому сумма может принимать значения 0, 1, -1.

Целевую функцию рассмотрим в виде

.

Очевидно, что может лишь принимать значения 0 или 1.

Нулевые минимальные значения нелинейных целевых функций , и достигаются для изоморфных графов и только для них.


4.2. Экстремальные задачи на графовых структурах.

4.2.1. Задачи о раскрасках графов.

Задачи о раскрасках графов.

Задача о вершинной раскраске. Каждой вершине графа поставим в соответствие цвет .

Определение 4.25. Вершинная раскраска графа называется правильной, если для любого ребра имеем .

Правильно раскрашенный граф с некоторой фиксированной раскраской обозначим ; ‑ множество всех правильных раскрасок. Каждой правильной раскраске поставим в соответствие число цветов .

Определение 4.26. Хроматическим числом графа называется величина

.

Хроматическому числу соответствует правильная раскраска .

Немецкий математик Мёбиус (1790-1868) высказал в 1840 г. предположение, что для плоских графов ; это предположение получило название гипотезы о четырех красках. Для плоских графов доказано, что [8], для деревьев . Гипотеза о четырех красках в течение длительного времени оставалась недоказанной, она стала одной из самых знаменитых нерешенных задач математики. В 1976 г. эту гипотезу удалось доказать с применением компьютера. Было показано, что если для некоторых специальных классов графов, то это условие выполняется для всех графов. Если же хотя бы для одного графа из этих специальных классов , то гипотеза неверна. Все эти специальные классы графов были проанализированы К. Аппелем и В. Хайкеном[9] на компьютере, для этого потребовалось около 2000 ч машинного времени одной из наиболее мощных ЭВМ того времени; гипотеза была подтверждена [6].

Сформулируем задачу о вершинной раскраске на языке целочисленного линейного программирования.

Пусть ‑ номер цвета, в который окрашена вершина , такая раскраска является правильной, если, например, . Если , то , что можно записать так:

или .

Целевая функция имеет вид

.

Итак, модель описывается соотношениями

, ,

Построенная модель нелинейна по ограничениям и целевой функции. Поэтому рассмотрим другую модель. Введем бинарные переменные

Каждая вершина имеет один цвет, что можно записать в виде

Если , то

Если цвет с номером входит в раскраску, то

,

если цвет в раскраску не входит, то . Поэтому модель имеет вид

(4.5)

(4.6)

, . (4.7)

В самом деле, если ни одна из двух смежных вершин и не окрашена в цвет , то

если одна из них (например, ) окрашена в цвет , то вторая из них ( ) окрашена в другой цвет, поэтому

Итак, модель описывается соотношениями (4.5)-(4.7).






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1785; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.041 сек.