Тема 8. Алгебраические операции над нечеткими множествами.
Определение 8.1. Алгебраическое произведение Aи Bобозначается A⋅Bи определяется так:
.
Определение 8.2. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:
Для операций выполняются свойства:
- коммутативность;
- ассоциативность;
- теоремы де Моргана.
Не выполняются:
- идемпотентность;
- дистрибутивность;
а также ,
Для примера докажем свойство: . Обозначим µA(x) через a, µB(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b)=1 – a+1-b-1+a+b-ab=1-ab. Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. . Для левой части имеем: a(b+c-bc)=ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a≠a2.
Замечание. При совместном использовании операций {∪, ∩,+,⋅} выполняются свойства:
А⋅(BÈC)=(A⋅B)È(A⋅C);
А⋅(BÇC)=(A⋅B)Ç(A⋅C);
А (BÈC)=(A⋅B)È(A⋅C);
А⋅(BÇC)=(A⋅B)Ç(A⋅C).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами. На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере, для целых α эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень α нечеткого множества A, где α - положительное число. Нечеткое множество Aα определяется функцией принадлежности µAα=µαA(x). Частным случаем возведения в степень являются: CON(A)=A2- операция концентрирования, DIL(A)=A0,5- операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
Определение 8.3. Умножение на число. Если α - положительное число, такое, что , то нечеткое множество αAимеет функцию принадлежности: µαA(x) = αµA(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств.
Пусть A1, A2,.., An - нечеткие множества универсального множества E, а ω1,ω2,...,ωn- неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Определение 8.4. Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество Aс функцией принадлежности: .
Декартово произведение нечетких множеств.
Определение 8.5. Пусть A1, A2, ..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1,E2,...,En соответственно. Декартово произведение A=A1×A2 × ...×An является нечетким подмножеством множества E=E1×E2×...×En с функцией принадлежности: .
Определение 8.6. Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x∈E определены нечеткие множества K(х).
Определение 8.7. Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
где µA(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда Ф(A,K) = µA(1) K(1) ∪µA(2)K(2) ∪µA(3)K(3) ∪µA(4)K(4) = 0,8(1/1+0,4/2) ∪ 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) = 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Определение 8.8. Четкое множество α-уровня (или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aα универсального множества E, определяемое в виде: Aα ={x/µ A(x)≥α}, где α≤1. Пример:
A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 , тогда A0.3 = {x3,x4}, A0.7 = {x4}. Достаточно очевидное свойство: если α1 ≥α2 , то Aα1≤ Aα2 .
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:
- произведение числа α на множество A, и α "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A. Пример:
A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:
A = 0,1(1,0,1,1) ∪ 0,7(0,0,1,1,) ∪ 1(0,0,0,1)= = (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)∪ (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)∪ ∪(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .
Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций α1≤ α2≤ α3≤ ...≤ αn, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:
, т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aα1, Aα2, ..., Aαi}, где Aα1 ≥Aα2≥ , ..., ≥Aαi.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 621;