II. Формализация процесса формирования математических моделей

Существующие методы формализации процесса формирования математических моделей электрических цепей широко используют понятия теории графов [27]. Здесь будет применен подход, в котором нет необходимости предварительного изучения теории графов. Для простоты ограничимся формированием математических моделей цепей состоящих из двухполюсных элементов, представленных на рис 2.

В качестве примера для формирования модели выберем цепь, представленную на рис. 3 (а). Соотношения на индуктивных элементах:

; .

На емкостных элементах:

; .

Закон Ома на резистивных элементах:

; .

Символ элемента	Тип элемента	Характеризующий его параметр
	Резистор	R
	Индуктивность	L
	Емкость	C
	Источник напряжения	U
	Источник тока	I

Рис. 2

I закон Кирхгофа выпишем для узлов 2, 3, 4, 5; причем условимся за положительное направление тока через элементы выбирать направление от узла с меньшим номером к узлу с большим номером.

;

; .

а)

б)

в)

г)

3 – L1 – 2 – R1 – 1 – U1 – 7 – C2 – 4 – C1 – 3

5 – L2 – 4 – C2 – 7 – U2 – 6 – R2 – 5

д)

Рис. 3

Выберем контуры

1 – R1 – 2 – L1 – 3 – C1 – 4 – C2 – 7 – U1 – 1

4 – L2 – 5 – R2 – 6 – U2 – 7 – C2 – 4

и выпишем для них II закон Кирхгофа:

Из уравнений для токов и закона Ома находим

Используя соотношения, полученные на основании II закона Киргофа, найдем

Окончательно математическая модель имеет вид

(1)

Компактно эту модель можно представить в матрично-векторной записи

(2)

где

В общем случае математическую модель при заданной топологии цепи (фиксированная структура) представляется в виде системы матрично-векторных уравнений.

(3)

Здесь - вектора токов и напряжений на соответствующих элементах; NL, NC, NR – число индуктивных, емкостных и резистивных элементов, определяющих размерность векторов; L(NL, NL), C(NC, NC), R(NR, NR) – диагональные матрицы из индуктивностей, емкостей и сопротивлений; I(NI), U(NU) – вектора входных токов и напряжений; NI, NU – число источников тока и напряжения; - топологические матрицы; NZ – число узлов, для которых записывается I закон Кирхгофа; NK- число контуров, для которых записывается II закон Кирхгофа.

Для рассмотренного примера

NL, NC, NR, NI, NU=2, NZ=4, NK=2.

Задача формирования модели состоит, во-первых, в нахождении элементов топологических матриц и, во-вторых, в преобразовании модели к некоторому удобному для реализации виду.

Преобразуем модель (3) к виду (2), где

а матрицы A и B следует найти.

Обозначим

Размерность введенных матриц и векторов

Подставляя из третьей группы уравнений (3) в последнюю, представим две последние группы уравнений (3), с учетом введенных обозначений, в виде

Поскольку элементы векторов могут принимать совершенно произвольные значения, следует приравнять нулю выражения в круглых скобках; присоединяя к ним оставшиеся уравнения, получим

Компактная запись этой системы

(4)

Обе группы уравнений (4) имеют одну и ту же матрицу

W=

размерность которой

(NL+NC+NR)*(NZ+NK).

Определение. Если выполнено условие

NL+NC+NR=NZ+NK

и

detïWï¹0,

то цепь называется невырожденной и вырожденной, если эти условия не выполнены.

В случае невырожденной цепи системы уравнений (4) разрешимы, причем

, , .

Если же цепь вырождена, необходимо преобразовать системы (4) в соответствии с рангом матрицы W.

Методологию формирования топологических матриц лучше всего проследить на примере цепи рис. 3 (а). Матрицы группы Е можно сразу выписать

, , , .

Первые строки этих матриц формируются на основе 2-го узла цепи. Ток через элемент втекает в этот узел. Поэтому в матрице элемент первой строки и первого столбца равен 1. Ток через элемент вытекает из этого узла. Поэтому в матрице элемент первой строки и первого столбца равен -1. Все остальные элементы первых строк равны нулю, поскольку другие элементы цепи с узлом не связаны. Аналогично формируются элементы других строк матриц группы Е.

Прежде чем формировать матрицы группы D, необходимо построить методологию выделения контуров цепи. Структура цепи рассматриваемого примера представлена на рис. 3 (б) в виде трех массивов. Один из этих массивов характеризует тип элемента. Два других массива из целых чисел содержат номера узлов соответствующих элементов. Массивы 3 (в) формируются следующим образом. Выбираем все элементы, имеющие узлы с каким-то одним номером (выбран узел 7). Эти элементы располагают так, чтобы узлы 7 находились в одной строке (вверху). Так формируется первый уровень. Второй уровень образуют элементы с узлами, расположенными в нижней строке первого уровня (узлы 4, 1, 6). Причем эти узлы располагаются в верхней строке. Узлы нижней строки второго уровня служат основой для формирования элементов третьего уровня и т.д. Структура массива рис. 3 (в) представляется в виде корневого дерева рис. 3 (г). Пусть - число повторяющихся узлов с номером n на всех уровнях дерева. Для рассматриваемого примера имеем

, , , , , ,

общее число контуров, для которых записывается 2-ой закон Кирхгофа

,

где NY-число всех узлов, - число контуров, содержащих источники тока.

Формирование контура начинается с узла, расположенного на самом низком уровне движением вверх, до корня дерева, а затем движением вниз до узла с тем же номером. Для рассматриваемой цепи из четырех возможных контуров два содержат источники тока ( ). Два других выписаны на рис. 3 (д). Топологические матрицы группы D имеют вид

; ; ; .

Рассмотрим, как формируются первые строки этих матриц. Для этого используем первый контур. Поскольку он содержит единственный индуктивный элемент и знак напряжения на этом элементе будет положителен (противоположен знаку тока), то , . Контур содержит 2 емкостных элемента с положительным напряжением на них, поэтому , Аналогично формируются другие элементы матриц группы D.

Рассмотренную методику формирования математической модели можно реализовать на ЭВМ и тем самым автоматизировать процесс формирования модели. В принципе эта методика не изменится, если к элементам рис. 2 добавить ключевые (управляемый ключ, диод). Если же цепь содержит транзисторы, тиристоры, трансформаторы и т.д., то можно использовать схемы замещения этих элементов из 2-х полюсных компонент.