Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, зани­мались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гаранти­рует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением ус­ловий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устой­чивость конструкций.

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью пони­мается свойство способности системы сохранять свое первоначаль­ное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интен­сивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновес­ного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются кри­тическими.

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 7.1

Основная задача теории устойчивости заключа­ется в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости задан­ной системы в эксплуатационных режимах.

Пусть вертикальный стержень закреплен ниж­ним концом, а на свободном верхнем конце цент­рально приложена продольная сила Р (рис. 7.1). На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за иск­лючением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = P_KP , стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих момен­тов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверж­дать, что при P = P_KP происходила смена формы равновесного сос­тояния системы. Если на начальном этапе нагружения P < P_KP , равновесное состояние вертикального стержня определялось как простое сжатие, то при P > P_KP сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = P_KP происходила потеря устойчивости системы.

Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного сос­тояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докри­тическом - прямолинейная форма деформирования, в закритиче­ском - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выпол­няться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:

, (7.1)

где Р_KP - значение сжимающей силы, при котором стержень пере­ходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейно­му; F - площадь сечения стержня.

Рис. 7.2

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнир­но опертыми концами при действии центрально сжи­мающей силы Р (рис. 7.2).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от цен­трально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возмож­ной криволинейная форма оси стержня при центрально приложен­ной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая диф­ференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

(7.2)