Пример расчета (задача № 14)

Для балки (рис. 6.11) задано: l₁ = 2 l₂ , P = q l₁, m = q .

Рис. 6.11

Требуется:

1. Определить сте­пень статической неоп­ределимости системы и составить уравнение сов­местности деформаций;

2. Определить коэф­фициенты и решить ка­ноническое уравнение метода сил;

3. Построить эпюры моментов М и поперечных сил Q.

Решение

1. Определить степень статической неопредели­мости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость W из пункта 6.1, подсчита­ем степень статической неопределимости системы. D = 1, Ш = 0, С = 4 ® W = 3×1 - 2×0 - 4= -1, следовательно система один раз ста­тически неопределима. Основную систему получим путем отбрасы­вания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием X₁ (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде:

Рис. 6.12

d₁₁ × X₁ + D_1P = 0.

2. Определить коэффициенты и решить канониче­ское уравнение метода сил. От силы X₁ строим эпюру M₁ (рис. 6.13). Для определения величины d₁₁ воспользуемся выраже­нием (6.12). Фактически эпюру M₁ нужно умножить саму на себя и проинтегрировать это произведение:

Для определения сво­бодного коэффициента в каноническом уравнении строим в основной сис­теме эпюру моментов M_P от внешней нагрузки (рис. 6.14) и в соответст­вии с (6.7) получаем:

При вычислении D_1P было учтено, что эпюры М₁ и М_P имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон - об этом говорит отрицательный знак при D_1P . Кроме этого, криволиней­ный участок в эпюре М_P был представлен как разность трапеции и параболического сегмента.

Напишем уравнение совместности деформаций в виде

E I d₁₁ × X₁ + E I D_1P = 0,

и, подставляя найденные величины перемещений, получим:

, откуда X₁ = .

3. Построить эпюры изгибающих моментов и попе­речных сил. Окончательную эпюру изгибающих моментов полу­чим по формуле:

.

Рис. 6.15

Последняя формула означает, что окончательное значение мо­мента в любом сечении определяется путем сложения значения момента в эпюре М_P с величиной момента в эпюре М₁, увеличен­ной на коэффициент ql₂ (рис. 6.15, а). Эпюру Q_ОК для заданной системы можно построить следующим образом. Заменив в задан­ной системе опорные реакции R_A на X₁, по­лучим статически оп­ределимую эквивалент­ную систему, тождест­венную заданной. Да­лее, определяя осталь­ные опорные реакции R_C и R_D и по методу сечений составляя ана­литические выражения изменения поперечных сил на каждом участке, по ним определив ор­динаты в характерных сечениях, строится эпю­ра Q_ОК (рис. 6.15,б).