Пример расчета (задача № 12)

На брус заданного поперечного сечения (a = 1,05 м, b = 1 м, с = 0,15 м, d = 0,2 м) в точке D верхнего торца действует продоль­ная сила Р = 150 кН (рис. 5.33). Требуется:

1. Найти положение нулевой линии;

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) на­пряжения;

3. Построить ядро сечения.

Решение

1. Найти положение нулевой линии.

1.1. Нахождение положения главных центральных осей. Так как поперечное сечение бруса (рис. 5.33) имеет две оси симметрии x_С и y_С , то они и будут главными центральными осями инерции. Площадь поперечного сечения бруса равна:

м².

 

1.2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции. Моменты инерции определяем по формулам:

= 521,6×10^-4 м;

м⁴ .

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

м² ;

м² .

1.3. Определение положения нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

м;

м,

где x_P = 0,525 м и y_P = 0,5 м - координаты точки приложения силы Р (точка D на рис. 5.33). Отложив отрезки и , соответст­венно, на осях x_C и y_C , и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т.е. геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю (s = 0). На рис. 5.33 эта линия обозначена n-n.

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжи­мающие) напряжения. Точка D, координаты которой x_D = = 0,525 м и y_D = 0,5 м , наиболее удалена от нулевой линии в сжа­той зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле:

= -1,436 кН/м² .

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты x_K = -0,525 м и y_K = -0,5 м :

= 0,996 кН/м².

По полученным значениям s_D и s_К строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.33).

3. Построить ядро сечения. Для построения ядра симмет­ричного сечения рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II (рис. 5.33). Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

= ¥; = 0,5 м.

Координаты граничной точки I ядра сечения определяются по формулам:

м.

Касательная II-II отсекает отрезки = 0,525 м, = ¥.

Соответственно, координаты граничной точки 2:

.

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, т.к. сечение бруса симметричное. Учитывая это, для касательных III-III, IV-IV координаты граничных точек 3 и 4 будут:

м; .

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми, получим ядро рассматриваемого сечения (рис. 5.33).

Теории прочности

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное состояние в ка­кой-либо точке вполне может быть определено величиной напря­жений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения координатных плос­костей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обо­значения в плоскости xy: s_zz , t_zx , t_zy ; в плоскости xz: s_yy , t_yx , t_yz; в плоскости yz: s_xx , t_xy , t_xz . Здесь первый индекс показывает ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она перпендикулярна. Второй индекс ука­зывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикуляр­ные плоскости, свободные от касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих пло­щадках называются главными напряжениями и обозначаются s₁, s₂, s₃. При этом всегда s₁ > s₂ > s₃. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная литература.

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напря­женное состояние называется: а) объемным или трехосным, если все главные напряжения s₁, s₂, s₃ не равны нулю; б) плос­ким или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно нулю; в) одномерным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю.

Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего сравнить между собой опас­ность различных напряженных состояний материала.

Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного сос­тояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

Заметим, что, так как в настоящее время строгой единой тео­рии прочности материалов, в зависимости от вида напряженного состояния, не существует, поэтому при выполнении практических расчетов применяются упрощенные критерии.

Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки конструкций на прочность, при простейших случаях напряженного состояния (сжатие-растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:

s_max £ [s], (5.38)

где s_max - максимальное расчетное значение напряжения, возника­ющее в наиболее опасной точке конструкции; [s] - допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

В настоящее время при выполнении расчетов конструкций на прочность, при произвольных напряженных состояниях, широко используются три теории прочности.

Согласно первой теории критерием прочности является ограничение главного максимального напряжения:

s_max = s₁ £ [s], (5.39)

где [s] - предельное напряжение, полученное из опытов на одно­осное растяжение.

Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

В основу второй теории прочности заложена гипотеза о том, что критерием оценки работы конструкции является ограни­чение наибольшего удлинения. В формулировке данного положе­ния через главные напряжения (s₁ и s₂ ) это условие для плоского на­пряженного состояния записывается следующим образом:

s₁ - m s₂ £ [s] ,

где [s] - напряжение, при котором было вызвано предельное уд­линение образца в опытах на одноосное растяжение; m - коэф­фициент бокового расширения.

При объемном напряженном состоянии вторая теория проч­ности записывается в виде:

s₁ - m (s₂ -s₃) £ [s] , (5.40)

Экспериментальная проверка не всегда подтверждает правиль­ность теории прочности наибольших линейных деформаций при простых нагружениях, т.е. при чистом растяжении или чистом сдвиге. Однако до настоящего времени эта теория имела широкое применение при выполнении инженерных расчетов..

В основу третьей теории прочности заложена гипотеза о том, что причиной разрушения материалов являются сдвиговые деформации, происходящие на площадках максимальных касатель­ных напряжений, т.е.

t_max < [t], (5.41)

где t_max - расчетное максимальное касательное напряжение, возни­кающее в опасной точке нагруженного тела; [t] - предельное зна­чение касательного напряжения, полученное из опытов.

Для плоского напряженного состояния по третьей теории усло­вие прочности записывается в виде:

s₁ - s₂ < [s] . (5.42)

В случае поперечного изгиба балки (s₂ = 0), если выразить главные напряжения s₁ и s₃ через s и t, то условие прочности (5.42) преобразуется в виде:

, (5.43)

где R - расчетное сопротивление материала балки при изгибе.