ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ МАТЕРИАЛОПОТОКА ЛЕСОПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Цель работы. Освоить традиционные и компьютерные методы статистического анализа производственно-хозяйственной деятельности лесопромышленного предприятия и методы прогнозирования деятельности на тактическом уровне.
Задача. Выполнить анализ деятельности лесопромышленного предприятия за предыдущий период и обосновать план производства на первые три месяца следующего периода с вероятностью 0,95 и 0, 98.
В лесопромышленной логистике основной целью является создание такой товаропроизводящей и товаропроводящей логистической системы, чтобы при минимально возможных затратах достичь максимально возможного эффекта.
Для создания эффективной логистической системы, в первую очередь, необходимо иметь возможность прогнозировать развитие потребностей и покупательной возможности потребителей, прогнозировать развитие своего производства и возможного развития конкурентов.
Прогнозирование дает возможность обосновать параметры проектирования новых лесозаготовительных и лесоперерабатывающих предприятий на предпроектной стадии, проектирования их реконструкции, а также совершенствования технологических процессов лесного производства.
Прогнозирование чаще всего производится с использованием экстраполяционных методов, которые базируются на предположении о том, что будущее является продолжением настоящего. При этом предполагается, что в будущем, в пределах прогноза, сохраняются существующие тенденции развития.
Прогнозирование производится с использованием математических методов, таких как метод наименьших квадратов, метод Чебышева, а в простейших случаях методов интерполирования, экспоненциального сглаживания, скользящей средней, экспертных оценок, имитационного моделирования и других.
Методы прогнозирования.Метод наименьших квадратов.Если известен вид эмпирической формулы y = f(x, a0, a1, .., am) и ее отклонения ei = f(xi, a0, a1, .., am) – yi от исходных данных (x yi). Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a0, a1, .., am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна, то есть
(2.1)
Это возможно в том случае, если частные производные равны нулю:
(2.2)
Если эмпирическая формула f(x, a0, a1, .., am) линейна относительно ее параметров, то система (2.2) может быть представлена в простом виде. Полагая:
получим
отсюда
(2.3)
В частности, если эмпирическая формула представляет собой полином
(2.4)
то после некоторых преобразований система (2.3) запишется в виде:
(2.5)
Если уравнение регрессии представлено линейным уравнением вида
y = a0 + a1x, (2.6)
то параметры ее по методу наименьших квадратов находятся из системы уравнений:
(2.7)
Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и имеет единственное решение. Схема нахождения сумм, входящих в систему (2.7), представлена в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Таблица для расчета параметров уравнения (2.7)
Номер Опыта | Значение параметра xi | Значение параметра yi | xiyi | xi2 |
X1 | y1 | x1 y1 | x12 | |
X2 | y2 | x2 y2 | x22 | |
… | … | … | … | … |
n | xn | yn | xn yn | xn2 |
Для определения параметров эмпирической зависимости, выраженной уравнением регрессии второго порядка в виде
(2.8)
необходимо составить систему уравнений:
(2.9)
Суммы, входящие в систему (2.9), удобно вычислять, пользуясь схемой табл. 2.2.
Таблица 2.2.
Таблица для расчета параметров уравнения (2.2)
Номер опыта | Значение параметра xi | Значение параметра yi | xi2 | xi3 | xi4 | xiyi | xi2yi |
x1 | y1 | x12 | x13 | x14 | x1y1 | x12 y1 | |
x2 | y2 | x22 | x23 | x24 | x2y2 | x22 y2 | |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
n | xn | yn | xn2 | xn3 | xn4 | xnyn | xn2yn |
Решение систем уравнений (2.5), (2.7), (2.9) не представляет трудности, так как число уравнений равно числу неизвестных параметров. Недостатком метода является громоздкость вычислений.
2.1.1. Метод Чебышева.
Если в процессе обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов возникает необходимость повысить степень многочлена, то требуется не только найти еще один коэффициент, но и пересчитать найденные ранее, так как изменяется система уравнений, из которой они определяются. В таком случае легче пользоваться методом Чебышева. Эмпирический многочлен ищется в виде суммы многочленов повышающихся степеней, причем добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов в предыдущих. Прибавляя член за членом, можно видеть, как убывает сумма квадратов отклонений величин, вычисленных по найденной формуле, от экспериментальных значений. При этом методе значительно облегчается выбор степени многочлена.
Пусть для n наблюдений требуется найти многочлен степени m с m+1 неизвестными коэффициентами a0, a1, …,am, при этом предполагается, что m<n.
Суть метода состоит в том, что эмпирический многочлен ищут не непосредственно в виде суммы степеней x, а в виде комбинаций много членов, которые выбирают специальным образом. Запишем искомый многочлен в виде
(2.10)
где j0(x) = 1, j1(x) = x + a1, … , jm(x) = x + am,
Вообще j1(x) – многочлен степени l имеет вид
(2.11)
со старшим коэффициентом, равным единице.
Предполагая, что многочлены каким-то образом выбраны, определим наиболее вероятные значения коэффициентов a0, a1, …,am. Находим способом наименьших квадратов минимум функции (2.1). При этом получим систему уравнений:
(2.12)
Для упрощения системы (2.12) многочлены j0(x),…, jm(x) подбираются так, чтобы выполнить условия:
(2.13)
Это означает, что хотя бы в одной из точек x1, x2, …, xn многочлен jl(x) не равен нулю. Такие многочлены называются ортогональными многочленами Чебышева. При соблюдении указанных условий в левой части каждого уравнения (2.12) останется по одному числу, и тогда выражение для определения коэффициентов примет вид:
(2.14)
Из условий (2.13), учитывая, что j0(x) = 1 и приняв в них l = 0, k = 1 для многочлена j1(x), получим:
(2.15)
Так как согласно формуле (2.11) многочлен
j1(x) = x + a1,
то выражение (2.15) можно записать так:
(2.16)
откуда
или (2.17)
В результате
(2.18)
Для построения многочлена j2(x) положим в выражениях (2.13) последовательно l = 0, k = 2 и затем l = 1, k = 2, получим два уравнения:
(2.19)
j2(x) – многочлен второй степени со старшим членом, равным единице. Поэтому его можно записать в виде
j2(x) = (x + b2)j1(x) + g2j0(x). (2.20)
Подставив (2.20) в систему (2.19), и учитывая, что j0(x) = 1, получим
(2.21)
или учитывая выражение (2.15)
(2.22)
Решая систему уравнений (2.22), получим:
(2.23)
Вычисляя коэффициенты b2 и g2, находим и многочлен j2(x) по формуле (2.20).
При вычислении величин b2 и g2 по формулам (2.23) надо знать только суммы степеней
(2.24)
При выводах системы уравнений (2.24) учитывалось, что åj1(x) = 0.
Таким образом, многочлены j0(x), j1(x), j2(x) найдены. Теперь необходимо по формуле (2.14) установить наиболее вероятные значения коэффициентов a0, a1, …,am. Если многочлен (2.10) уже построен, то есть многочлены j0(x),…, jm(x) и коэффициенты a0, …, am найдены, но точность многочлена нас не удовлетворяет, нужно найти следующий член am+1jm+1(x). Для этого по формулам, аналогичным (2.20) и (2.22), строим многочлен jm+1(x) и по формуле (2.24) находим коэффициент am+1.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 347;