Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования:

1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк.

Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме).

Например,

Здесь мы проделали следующие операции:

1) К второй строке матрицы прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу

2) К третьей строке матрицы прибавили ее вторую строку; получили матрицу ступенчатого вида (трапециевидной формы).