Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису
Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.
Определение 1.Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа).
Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства .
Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ).
Определение 2.Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства[3]:
а) б)
Свойства а) и б) можно объединить в одно:
Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как
Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно,
Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором.
Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:
(при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и
Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.
Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть дан оператор является линейныым и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде
Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису
Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде
Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно.
Определение 3.Матрицей оператора в базисе называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа ( го базисного вектора пространства ) в базисе
Пример 3.Пусть пространствоявляется пространством квадратных трехчленов: =
= Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде
Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то
Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 2.Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе), то матрицами операторов
( числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы
Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе).
Пример 3.Решить дифференциальное уравнение
Решение.Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме
Его решением является вектор-столбец
Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .
Пример 4.Даны линейные преобразования в пространстве
Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства
Решение.Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы:
Вычисляем матрицу
Значит,
[1] Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент
[2] Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.
[3] Если оператор линейный, то пишут опуская скобки.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2803;