Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису
Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.
Определение 1.Подмножество линейного пространства
называется подпространством пространства
над числовым множеством
, если наряду с двумя произвольными элементами
принадлежащими
ему принадлежит и любая линейная комбинация
(
числа).
Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов
В подпространстве
существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства
.
Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства
в пространство
ставящее в соответствие каждому элементу
единственный элемент
по закону
называется оператором (действующим из пространства
в пространство
).
Определение 2.Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства[3]:
а) б)
Свойства а) и б) можно объединить в одно:
Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу
столбец
будет линейным оператором, так как
Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера
. Этот оператор действует из пространства
в пространство
Действительно,
Значит, оператор действует из пространства
в пространство
Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство
для любых столбцов
и любых чисел
Поэтому матрица
является линейным оператором.
Обозначим через множество всех линейных операторов
В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:
(при получаем сумму операторов
и
, при
получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство
является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов
и
Если то в множестве всех линейных операторов
будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.
Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть дан оператор является линейныым и пусть
Зафиксируем в пространстве
базис
. Тогда любой вектор
можно записать в виде
Точно так же, если в пространстве
зафиксировать базис
то любой вектор
можно записать в виде
Так как образы базисных векторов принадлежат пространству
то их можно (согласно (4)) разложить по базису
Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде
Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора
Сформулируем это понятие более точно.
Определение 3.Матрицей оператора в базисе
называется матрица
(размера
),
й столбец которой является координатным столбцом образа
(
го базисного вектора
пространства
) в базисе
Пример 3.Пусть пространствоявляется пространством квадратных трехчленов:
=
= Выберем в нем базис
Тогда каждый элемент пространства
можно записать в виде
Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь
). Так как
то
Следовательно, матрица оператора
(согласно определению 3) имеет вид
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 2.Если и
матрицы операторов
и
соответственно (в одном и том же базисе
), то матрицами операторов
( числа) и
в том же базисе
будут соответственно матрицы
Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение
а затем восстановить вектор
(здесь
матрица оператора
в базисе
координатные столбцы векторов
и
в том же базисе).
Пример 3.Решить дифференциальное уравнение
Решение.Выбрав в пространстве квадратных трехчленов
базис
(см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме
Его решением является вектор-столбец
Значит, решением данного уравнения будет функция где
произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство
.
Пример 4.Даны линейные преобразования в пространстве
Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе
пространства
Решение.Воспользуемся теоремой 2. Если и
матрицы операторов
и
в базисе
то матрицей оператора
в том же базисе будет матрица
Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование
. Вычисляя образы базисных векторов для операторов
и
, построим их матрицы:
Вычисляем матрицу
Значит,
[1] Полезно запомнить, что в первый индекс
номер строка, а
номер столбца, на пересечении которых находится элемент
[2] Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.
[3] Если оператор линейный, то пишут
опуская скобки.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2836;