Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Дадим определения этих произведений в краткой форме.

а) Скалярное произведение векторов и

б) Векторное произведение векторов и

- есть вектор удовлетворяющий требованиям:

1) 2) 3)тройка правая, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору имеющих общее начало, виден из конца вектора (с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки.

в) Смешанное произведение векторов

Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность): То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо пишем просто 0).

Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).

Скалярное произведение векторов и равно нулю когда векторы и ортогональны друг другу.

Векторное произведение равно нулю когда векторы и коллинеарны.

Смешанное произведение равно нулю когда векторы , и компланарны (т.е. все они либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях).

Геометрический смысл: а) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ; б) модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:

Теорема 4.Если векторы и заданы своими координатами в базисе то имеют место формулы:

а) (скалярное произведение;)

б) (векторное произведение);

в) (смешанное произведение).

Доказательствопроведем лишь для скалярного произведения. Имеем

Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителями не равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формула Теорема доказана.

Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве