Глава 2. Случайные величины

Существует класс случайных событий, имеющих числовые значения. Например, в опыте с игральной костью возможные результаты броска характеризуются числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Принято говорить, что в подобных опытах наблюдаются случайные величины, а не случайные события. Роль случайных событий играют возможные значения случайной величины. Случайными величинами называются величины, которые в результате испытания могут принимать с определенными вероятностями те или иные заранее неизвестные возможные значения. В зависимости от того, какова мощность множества возможных значений случайной величины, различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно записать и пронумеровать все ее возможные значения, принадлежащие даже достаточно небольшому интервалу. Эти значения образуют бесконечное множество, которое называется континуум.

Теория случайных величин изучает вероятностные явления в статике, рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты испытаний. Для описания процессов, которые отображают развивающиеся во времени, т. е. динамические случайные явления, используются методы теории случайных процессов, которые также могут быть дискретными и непрерывными.

2.1. Дискретные случайные величины

Задание дискретной случайной величины.Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить ее возможные значения, необходимо еще указать вероятности этих значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично или аналитически.

Например, таблица, характеризующая случайную величину , генерируемую игральной костью

	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

где – возможные значения случайной величины , а – вероятность появления данных значений. При этом .

В дальнейшем случайные величины в отличие от их возможных значений будем обозначать большими латинскими буквами .

Для иллюстрации аналитического задания распределения дискретной случайной величины воспользуемся условиями, для которых получена формула Бернулли, рассматривая в качестве число появления события в этих испытаниях. Для нахождения закона распределения требуется определить возможные значения и их вероятности. Очевидно, событие в испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . , либо раз. Таким образом, возможные значения таковы: .

Вероятности этих возможных значений могут быть вычислены по формуле Бернулли , где . Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения. Это распределение, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным. Название объясняется тем, что правую часть этой формулы можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях, второй – раз, последний член – событие не появится ни разу в испытаниях.

Пользуясь аналогичными рассуждениями, можно получить аналитическое выражение для распределения Пуассона , где .

Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться менее подробным описанием в виде числовых характеристик случайных величин.

К числу важнейших числовых характеристик случайных величин относят математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т. е. .

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная постоянная величина.

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно (тем точнее, чем больше число испытаний) равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

а) математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной ;

б) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания ;

в) математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий ;

г) математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий . Это свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин;

д) математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность p появления события в каждом испытании, т. е. математическое ожидание биномиального распределения .

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием, т. е. , но, поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю т. е. , то целесообразно заменить отклонения их квадратами. В результате получается следующая числовая характеристика случайной величины, называемая дисперсией и определяемая по формуле:

.

Таким образом, дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения

Тогда квадраты отклонения будут иметь следующий закон распределения

И тогда по определению дисперсия равна

. Однако более удобно пользоваться следующей формулой .

Свойства дисперсии:

а) дисперсия постоянной величины равна нулю ;

б) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат ;

в) дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин ;

г) дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий ;

д) дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность не появления события в одном испытании, т. е. дисперсия биномиального распределения ;

е) дисперсия распределения Пуассона ;

ж) квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X .

Свойства среднеквадратического отклонения случайной величины:

а) среднеквадратическое отклонение постоянной величины равно нулю ;

б) при умножении случайной величины на постоянную ее среднеквадратическое отклонение умножается на ту же постоянную ;

в) среднеквадратическое отклонение суммы конечного числа попарно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов среднеквадратических отклонений этих величин .

Многомерные дискретные случайные величины

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие случайные величины называются одномерными. Если возможные значения случайных величин определяются двумя, тремя, . . . n числами, то их называют двумерными, трехмерными, . . . n - мерными случайными величинами.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей p(x_i, y_j). Закон распределения может быть задан в виде таблицы.

Так как события (X=x_i ,Y=y_i) при i=1,2, . . ., n и j=1,2, . . . , m образуют полную группу событий, то сумма вероятностей во всех клетках таблицы равна 1. Вероятность того, что X примет значение x_i равна сумме вероятностей в i-м столбце. Аналогично вероятность того, что Y примет значение y_j равна сумме вероятностей в j-й строке.

Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины вводится понятие условного распределения. Условным распределением, например, составляющей X при Y=y_j называется совокупность условных вероятностей , вычисленных в предположении, что событие Y=y_j уже наступило.

Важнейшей характеристикой условного распределения является условное математическое ожидание. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y=y, где y – определенное возможное значение Y, называют произведение возможных значений X на их условные вероятности

.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математического ожидания и дисперсий составляющих, используются и другие характеристики, к которым, прежде всего, относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом m_xy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

.

Для вычисления корреляционного момента можно пользоваться формулой: .

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен 0.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин .

Две случайные величины X и Y называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0. Две коррелированные величины так же и зависимы. Обратное не всегда имеет место, т. е. если две случайные величины X и Y зависимы, то они могут быть коррелированными и некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать заключение о независимости этих величин.

2.2. Непрерывные случайные величины

Задание непрерывной случайной величины.Дискретная случайная величина задается перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ не является общим. Он по определению неприменим для непрерывных случайных величин.

В связи с этим целесообразно дать общий способ задания любых (в том числе и дискретных) типов случайных величин. С этой целью вводится понятие функции распределения.

Функцией распределения или интегральной функцией распределения называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, для каждого значения x, т. е.

.

Эта функция обладает следующими свойствами.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [1, 0], т. е. , что вытекает из определения .

2. – неубывающая функция, т.е. если .

3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е. .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна 0, т.е. имеет смысл рассматривать вероятность попадания X не в точку, а в интервал, пусть сколь угодно малый.

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то . Если возможные значения случайной величины расположены на всей оси x, то имеют место следующие предельные соотношения ; .

Функция биномиального закона распределения вероятностей , где , а x – случайная величина, принимающая целочисленные значения в диапазоне от 1 до n.

Биномиальное распределение вероятностей при переходит в распределение Пуассона. Функция пуассоновского закона распределения вероятностей , где x - случайная величина, принимающая целочисленные значения в диапазоне от 1 до n.

Последовательность событий, которые наступают в случайные, заранее неизвестные моменты времени называется потоком событий. К основным свойствам, которые характеризуют потоки событий, относятся свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности потока событий проявляется в том, что вероятность наступления событий на любом отрезке времени зависит только от числа событий и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчета при условии, что различные промежутки времени являются непересекающимися.

Свойство отсутствия последействия потока событий проявляется в том, что вероятность наступления событий на любом отрезке времени не зависит от того, наступали или не наступали события в моменты времени, которые предшествовали началу рассматриваемого временного отрезка. Таким образом, если поток событий обладает свойством отсутствия последействия, то появления какого либо числа событий в различные непересекающиеся отрезки времени считаются взаимно независимыми.

Свойство ординарности потока событий проявляется в том, что наступление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Таким образом, если поток событий обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, называется простейшим или пуассоновским потоком. Вероятность появления k событий простейшего потока за временной отрезок t можно рассчитать по формуле Пуассона где – среднее число событий, которые наступают в единицу времени, называемое интенсивностью потока.

Непрерывную случайную величину можно задать не только с помощью интегральной функции распределения, но и с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей, называемой еще функцией плотности вероятностей. Дифференциальная функция неприменима для задания распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Функция плотности вероятности определяется как первая производная от функции распределения, т. е. .

В связи с таким определением функции плотности вероятности можно утверждать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна .

Зная функцию плотности вероятности можно найти функцию распределения .

Свойства функции плотности вероятности

1. Функция плотности вероятности неотрицательна, т. е. .

2. Интеграл от функции плотности вероятности в пределах от –µ до +µ равен 1, т. е. .

Итак, функция плотности вероятности определяет плотность распределения вероятности для каждой точки x, т. е. вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отношению к Dx) произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала Dx, т. е. .

При решении задач, которые выдвигает практика, сталкиваются с различными распределениями непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение. Распределение называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, функция плотности вероятности имеет постоянное значение, т. е. аналитически это можно записать

2. Нормальное или гауссово распределение. Нормальным или гауссовым распределением называется распределение непрерывной случайной величины, которое описывается функцией плотности вероятности

.

Данная функция задается двумя параметрами a и s. Параметр a в этом случае понимается как математическое ожидание, а параметр s – как среднеквадратическое отклонение нормального распределения.

График этой функции называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Ее свойства:

а) данная функция определена на всей оси x;

б) нормальная кривая расположена над осью x, так как при всех значениях x функция принимает положительные значения;

в) предел функции при неограниченном возрастании x равен нулю, т. е. ось x служит горизонтальной асимптотой графика;

г) функция достигает своего максимума, равного , при x=a;

д) график функции симметричен относительно прямой x=a;

Изменение параметра a , т. е. математического ожидания, не меняет формы нормальной кривой, а приводит к ее сдвигу вдоль оси абсцисс. При возрастании a сдвиг кривой происходит вправо, при убывании – влево.

При возрастании параметра s максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси абсцисс. При убывании параметра s нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси ординат. Площадь фигуры, ограниченной нормальной кривой и осью абсцисс, при любых значениях параметров a и s равна единице. Если нормальное распределение задано математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным единице, то нормальную кривую называют нормированной кривой.

Если непрерывная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения. Это утверждение известно под названием правила трех сигм.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то по определению вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна . Для использования эту формулу удобнее преобразовать путем введения новой переменной , что обеспечивает возможность сведения ее к известной табличной функции Лапласа и получения более удобного выражения:

.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Распространим определения числовых характеристик дискретной случайной величины на непрерывную случайную величину.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b), определяется как

.

Если возможные значения принадлежат всей оси, то .

В частности, математическое ожидание равномерного распределения , а нормального .

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее отклонения или .

В частности дисперсия равномерного распределения , а нормального .

Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется как и для дискретной .

Многомерные непрерывные случайные величины

По аналогии с одномерным случаем функцией распределения двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют функцию W(x,y), определяющую для каждой пары чисел x и y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, т. е.

Функция плотности вероятности двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) определяется как и, следовательно, .

Функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Dx и Dy к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составляющих . Аналогично и по отношению к функции плотности вероятности .

Так же, как и для двумерных дискретных случайных величин для двумерной непрерывной случайной величины определяется корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Сохраняются те же отношения между понятиями независимости и некоррелированности. Можно сделать существенное дополнение, касающееся нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины. Для этого случая понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Обобщая сказанное о непрерывных случайных величинах можно заключить:

1. Основными характеристиками непрерывных случайных величин являются функция распределения и функция плотности вероятности.

2. Числовыми параметрами, описывающими непрерывную случайную величину, служат математическое ожидание и дисперсия.

3. Статистические связи между отдельными составляющими многомерной случайной величины описываются корреляционным моментом.

4. Некоррелированные гауссовы величины статистически независимы.

Контрольные вопросы к лекции 17

17-1. Какие события называются достоверными?

17-2. Какие события называются невозможными?

17-3. Какие события называются случайными?

17-4. Какие события называются несовместимыми?

17-5. Какие события называются единственно возможными?

17-6. Что называется полной группой событий?

17-7. Какие события называются равновозможными?

17-8. Какие события называются противоположными?

17-9. Что называется суммой событий?

17-10. Что называется произведением событий?

17-11. Что называется вероятностью события?

17-12. Чему равна вероятность суммы совместимых событий?

17-13. Чему равна вероятность суммы несовместимых событий?

17-14. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

17-15. Что называется условной вероятностью?

17-16. Какие события называются независимыми?

17-17. Чему равна вероятность произведения двух случайных зависимых событий?

17-18. Чему равна вероятность произведения двух случайных независимых событий?

17-19. Чему равна вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий , образующих полную группу?

17-20. Для чего служит формула Байеса?

17-21. Для чего служит формула Бернулли?

17-22. Для чего служит локальная теорема Лапласа?

17-23. Для чего служит интегральная теорема Лапласа?

17-24. Для чего служит формула Пуассона?

17-25. Какая случайная величина называется дискретной?

17-26. Какая случайная величина называется непрерывной?

17-27. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

17-28. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случайной величины?

17-29. Какой закон распределения дискретной случайной величины называется биномиальным?

17-30. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

17-31. В чем состоит вероятностный смысл математического ожидания?

17-32. Чему равно математическое ожидание постоянной величины?

17-33. Чему равно математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину?

17-34. Чему равно математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин?

17-35. Чему равно математическое ожидание суммы нескольких случайных величин?

17-36. Чему равно математическое ожидание биномиального распределения?

17-37. Что называется дисперсией дискретной случайной величины?

17-38. Чему равна дисперсия постоянной величины?

17-39. Чему равна дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину?

17-40. Чему равна дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин?

17-41. Чему равна дисперсия разности двух взаимно независимых случайных величин?

17-42. Чему равна дисперсия биномиального распределения?

17-43. Чему равна дисперсия распределения Пуассона?

17-44. Как называется квадратный корень из дисперсии случайной величины?

17-45. Чему равно среднеквадратическое отклонение постоянной величины?

17-46. Какие дискретные случайные величины называются многомерными?

17-47. Что называется законом распределения дискретной двумерной случайной величины?

17-48. Что называется условным распределением двумерной случайной величины?

17-49. Что называется условным математическим ожиданием двумерной случайной величины?

17-50. Что называется корреляционным моментом системы двух случайных величин?

17-51. Чему равен корреляционный момент двух независимых случайных величин?

17-52. Что называется коэффициентом корреляции системы двух случайных величин?

17-53. Что называется функцией распределения непрерывной случайной величины?

17-54. Перечислите свойства функции распределения непрерывной случайной величины?

17-55. Что называют потоком событий?

17-56. В чем состоит свойство стационарности потока событий?

17-57. В чем состоит свойство отсутствия последействия потока событий?

17-58. В чем состоит свойство ординарности потока событий?

17-59. Какой поток событий называется пуассоновским?

17-60. Что называется интенсивностью пуассоновского потока событий?

17-61. Что называется функцией плотности вероятности?

17-62. Перечислите свойства функции плотности вероятности.

17-63. Какое распределение называется равномерным?

17-64. Какое распределение называется нормальным?

17-65. Перечислите свойства нормальной кривой.

17-66. Как сказывается на виде нормальной кривой изменение величины математического ожидания?

17-67. Как сказывается на виде нормальной кривой изменение величины среднеквадратического отклонения нормального распределения?

17-68. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины?

17-69. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины с равномерным законом распределения?

17-70. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения?

17-71. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины?

17-72. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины с равномерным законом распределения?

17-73. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения?

17-74. Как, используя геометрическую интерпретацию, можно рассматривать функцию плотности вероятности двумерной непрерывной случайной величины?

17-75. Чему должна быть равна функция распределения системы (X,Y) для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми?