Формула полной вероятности


Пусть для событий H1, H2 , …, Hn (n ³ 2) выполнены два условия:

1) они попарно несовместны и имеют ненулевые вероятности;

2) .

Тогда верна формула полной вероятности:

(2.4)

События H1, H2 , …, Hn называются гипотезами, а смысл равенства состоит в том, что событие А может произойти только с одним из гипотез.

Выведем эту формулу. Так как события АНi (i = 1, …, n ) несовместны, то по формуле сложения вероятностей и формуле (2.3) имеем

 

,

что и требовалось доказать.

Задача 2.1 В магазин поступили однотипные телевизоры с 1-го завода 10 шт., со 2-го завода 15 шт. Вероятность изготовить бракованный телевизор на 1-м заводе равна 0,1, на 2-м – 0,2. Случайно отобрали один из поступивших телевизоров. Какова вероятность того, что он бракованный?

Решение. Введем события:

А – «Выбранный телевизор оказался бракованным»,

Н1– «Выбранный телевизор изготовлен на 1-м заводе»,

Н2– «Выбранный телевизор изготовлен на 2-м заводе»,

Гипотезы Н1, Н2 несовместны и событие А может произойти только с одним из них. Значит можно применить формулу полной вероятности.

P(Н1)=10/25 = 2/5=0,4; P(A/Н1) = 0,1;

P(Н2)=15/25 = 3/5=0,6; P(A/Н2) = 0,2.

Формула Байеса

При выполнении для гипотез H1, H2 , …, Hn и события А условий 1) и 2) п. 2.3 верна формула Байеса:

, i = 1, …, n. (2.5)

По этим формулам вычисляются так называемые апостериорные вероятности гипотез, то есть вероятности гипотез после того как событие А произошло. Безусловные вероятности гипотез Р(Нi) называются априорными.

Задача 2.2При условиях задачи из 2.1 найти вероятность гипотез Н1, Н2 ,если известно, что отобранный телевизор оказался бракованным.

Решение.Используя результаты вычислений из решения задачи 2.1, по формуле Байеса имеем:

Как видим, апостериорная вероятность гипотезы Н1 уменьшилась по сравнению априорной вероятностью. Объяснение простое: поскольку на первом заводе брака делается в два раза меньше, чем на втором, а выбранный телевизор оказался бракованным, то, естественно, вероятность того, что он из 1-го завода уменьшится.



Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 1297;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.