Схема и формула Бернулли

Схема Бернулли – это независимое многократное повторение одного и того же опыта, который имеет два противоположных события: успех и неудача.

Введем обозначения:

p – вероятность успеха,

q = 1– p – вероятность неудачи,

n – число повторения опыта (n ³ 2),

k – число успехов в n повторениях опыта (k = 0,1, …, n).

Вероятность появления k раз успеха в n независимых повторениях опыта вычисляется по формуле Бернулли:

, (2.6)

где – число сочетаний из n по k.

Вывод формулы Бернулли. Результатом n независимых повторений опыта является произведение n успехов и неудач в совокупности: , где – либо успех, либо неуспех. Если в этом произведении k успехов и n–k неудач, то по формуле умножения вероятностей

.

Два события вида , имеющие ровно k успехов отличаются тем, что успехи располагаются на разных местах. Если выписать подряд номера мест, соответствующие успехам, то получим сочетание из n по k. Таким образом, событий вида , имеющих ровно k успехов, ровно . Следовательно, по формуле сложения вероятностей

,

где суммирование осуществляется по всем событиям вида , имеющим ровно k успехов.

Пример 2.1. Пятикратное подбрасывание монеты является схемой Бернулли с параметрами n = 5, p =0.5, q = 0.5. По формуле Бернулли

Пример 2.2. В аппаратуре работают независимо 1000 однотипных элементов. Вероятность выхода каждого из них за время работы T равна p = 0.005. Эту ситуацию можно рассматривать как схему Бернулли с n = 1000, p =0.005, q = 0.995. Обратите внимание на то, что успехом здесь является “негативное” событие – “Элемент вышел из строя за время работы T”.

По формуле Бернулли Нетрудно понять, что вычисление этого выражения затруднительно. Поэтому необходимы приближенные формулы для вычисления вероятностей .