Независимость событий.

Условная вероятность

Пусть имеется вероятностное пространство (W,U, P). Рассмотрим два события A и B, причем P(B)>0.

Определение. Условной вероятностью события A при условии, что событие B произошло, называется число

. (2.1)

Условную вероятность еще обозначают P_B(A). Фактически условная вероятность при условии выполнения события В рассматривается в новом вероятностном пространстве, где “комплексу условий проведения опыта” (см. начало п.1.1) добавляется еще одно условие, что событие В произошло. Тогда новое пространство элементарных событий будет подмножеством W, алгебра событий и вероятности изменятся.

Пример. Рассмотрим опыт К1 событие А – “выпало число, большее трех“. Вероятность Р(А) = 3/6 = 1/2. Пусть событие В – “выпало четное число” произошло. Тогда пространством элементарных событий в новых условиях является {2, 4, 6}. Вероятность события А при условии, что событие B произошло, равно по классическому определению вероятности 2/3, так как число всех элементарных событий в новом пространстве элементарных событий равно 3 и два элементарных события 4 и 6 благоприятствуют событию А. Теперь эту условную вероятность вычислим по определению:

В = {2, 4, 6} Þ Р(В) = 3/6 = 1/2; AB = {4, 6} Þ Р(АВ) = 2/6 = 1/3.

.

Как видно, результаты совпали.

Независимость событий.

Определение.Два события A и B называются (вероятностно) независимыми, если

Р(АВ) = Р(А)Р(В) (2.2)

Пусть P(B)>0, A и B независимы. Тогда в силу равенства (2.2) выполняется равенство . Из этого следует, что если события A и B независимы, то вероятность Р(А) не зависит от того, произошло ли событие В или нет.

В теории вероятности применяется принцип: если события А и В причинно независимы, то они независимы вероятностно.

Докажите утверждение: если события А и В независимы, то независимы пары событий А и , В и .

Теперь определим понятие независимости нескольких событий.

Определение. События A₁, A₂ , …, А_n (n ³ 2) называются независимыми (в совокупности), если для любого сочетания по k (2 £ k £ n) из этих событий выполняется равенство

.