Простой линейной регрессионной модели

Парная (простая) линейная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x , т.е. это модель вида:

(4.4)

Так же y называют результативным признаком, а x признаком-фактором.

Знак «^» означает, что между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости. Практически в каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:

(4.5)

где y – фактическое значение результативного признака;

– теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;

e – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина e включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y = a + b × x + e .

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

ü регрессии,нелинейныеотносительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

ü регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Например:

ü регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней y = a + b × x + b × x² + ... + b × xⁿ + e ;

• равностронняя гипербола y = a + b/x + e ;

ü регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная y = a × x^b × e ;

• показательная y = a × b ^x ×e ;

• экспоненциальная y = e^{a + bx+e} .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такиеоценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических минимальна, т.е.

(4.6)

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b :

(4.7)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают непосредственно из решения этой системы:

(4.8)

где – ковариация признаков x и y,

– дисперсия признака x и

(Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.)

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r_xy для линейной регрессии(-1£ r_xy £1):

(4.9)

и индекс корреляции r_xy – для нелинейной регрессии(0£ r_xy£ 1):

(4.10)

где – общая дисперсия результативного признака у;

– остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения регрессии

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации r² (для линейной регрессии) либо r² (для нелинейной регрессии), а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

(4.11)

Допустимый предел значений – не более 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на1%от своего среднего значения:

(4.12)

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом,так и отдельных егопараметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения y раскладывается на две части – « объясненную» и «необъясненную»:

(4.13)

где ∑(y - )² – общая сумма квадратов отклонений;

( - )² – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);

∑(y – )² – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 4.1 (n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x).

Таблица 4.1

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду (напомним, что степени свободы – это числа, показывающие количество элементов варьирования, которые могут принимать произвольные значения, не изменяющие заданных характеристик). Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера:

(4.14)

Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным значением F_табл (a; k₁; k₂) при уровне значимости a и степенях свободы k₁ = m и k₂ = n - m - 1. При этом, если фактическое значение F -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии m = 1, поэтому

(4.15)

Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации r_xy², и ее можно рассчитать по следующей формуле:

(4.16)

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции рассчитываются t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.Оценка значимости коэффициентоврегрессии и корреляции с помощью t -критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

(4.17)

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии икоэффициента корреляции определяются по формулам:

4.18

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t - статистики – t_табл и t_факт – делаем вывод о значимости параметров регрессии и корреляции. Если t_табл < t_факт то параметры a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл > t_факт, то признается случайная природа формирования a, b или r_xy .

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Связь между F -критерием Фишера и t -статистикой Стьюдента выражается равенством

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое индивидуальное значение y₀как точечный прогноз при x = x₀,т.е.путем подстановки в линейное уравнение = a + b × x соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки

(4.19)

где , и построением доверительного интервала прогнозного значения :

C помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа, доверительных интервалов, остатки и графики подбора линии регрессии.

Если в меню сервис еще нет команды Анализ данных, то необходимо сделать следующее. В главном меню последовательно выбираем Сервис→Надстройки и устанавливаем «флажок» в строке Пакет анализа(рис. 4.1).

Далее следуем по следующему плану.

1. Если исходные данные уже внесены, то выбираем Сервис→Анализ данных→Регрессия.

2. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 4.2).

Здесь:

Входной интервал Y –диапазон,содержащий данныерезультативного признака;

Входной интервал X –диапазон,содержащий данные признака-фактора;

Метки – «флажок»,который указывает,содержит ли первая строканазвания столбцов;

Рис. 4.1. Строка Пакет анализа

Рис. 4.2. Диалоговое окно ввода данных и параметров вывода

Константа – ноль – «флажок»,указывающий на наличие илиотсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал –достаточно указать левую верхнюю ячейкубудущего диапазона;

Новый рабочий лист –можно указать произвольное имя новоголиста (или не указывать, тогда результаты выводятся на вновь созданный лист).

Получаем подобные результаты:

Откуда выписываем, округляя до 4 знаков после запятой и переходя к нашим обозначениям:

Уравнение регрессии:

=76,9765+0,9204x.

Коэффициент корреляции:

r_xy =0,7210.

Коэффициент детерминации:

r_xy²=0,5199.

Фактическое значение F -критерия Фишера:

F =10,8280

Остаточная дисперсия на одну степень свободы:

S_ост²=157, 4922.

Корень квадратный из остаточной дисперсии (стандартная ошибка):

S_ост=12,5496.

Стандартные ошибки для параметров регрессии:

m_a =24, 2116 , m_b =0, 2797.

Фактические значения t -критерия Стьюдента:

t_a =3,1793, t_b =3,2906.

Доверительные интервалы:

23,0298 £ a^* £130,9232,

0,2972 £ b^* £ ,5437.

Как видим, найдены все рассмотренные выше параметры и характеристики уравнения регрессии, за исключением средней ошибки аппроксимации (значение t -критерия Стьюдента для коэффициента корреляции совпадает с t_b). Результаты «ручного счета» от машинного отличаются незначительно (отличия связаны с ошибками округления).

4.3. Финансовое моделирование в Excel.

Начиная создавать финансовую модель предприятия, лучше руководствоваться принципом «от простого к сложному», иначе в попытке учесть все нюансы есть риск запутаться в большом количестве формул и ссылок. Поэтому вполне оправдано вначале создать простейшую модель (с минимальным количеством элементов), установить связи общего характера между внешними параметрами (спрос на продукцию, стоимость ресурсов) и внутренними показателями деятельности предприятия (выручка, затраты, денежные потоки и т. д.). В первой итерации можно не заботиться об особой точности задаваемых параметров. На этом этапе важнее установить правильные взаимосвязи между переменными так, чтобы финансовая модель предприятия автоматически пересчитывалась после изменения исходных данных и позволяла выстраивать различные сценарии. Уже после этого можно приступить к ее развитию, детализовать показатели, ввести дополнительные уровни аналитики и т. д.

1) Доходы. Построение финансовой модели в Excel начинается с задания внешних параметров. Отправной точкой для дальнейших расчетов послужит план продаж. ля этого в Excel на одном из листов книги размещается таблица с планом продаж в денежном выражении (табл. 4.1). На этом этапе выручку можно указать «навскидку» или использовать данные прошлого года. Пока точность не имеет большого значения. Позднее при детализации модели план продаж придется доработать.

2) Расходы. Исходя из объема продаж, определяется размер переменных затрат. В самом общем виде расчет может выглядеть следующим образом:

Переменные затраты = Доля в выручке х Объем продаж

Сделаем небольшое допущение и предположим, что в примере переменными являются только затраты на оплату труда – заработная плата сотрудников полностью зависит от объема оказанных услуг, на нее уходит примерно 30 процентов выручки от реализации. Кстати, план затрат удобнее разместить на отдельном листе Excel (табл. 4.2). В нем зарплата рассчитывается помесячно как произведение коэффициента 0,3 (30% / 100%) и плана продаж на определенный месяц. Расходы на аренду и управление вводятся на первом этапе создания финансовой модели предприятия не как расчетные величины, а как фиксированные значения. В дальнейшем при детализации модели их можно будет заменить формулами, увязав с другими показателями.

Таблица 4.1

План продаж в финансовой модели предприятия, тыс. руб.

Таблица 4.2

План затрат в финансовой модели предприятия, тыс. руб.

Не стоит перегружать планы верхнего уровня (баланс, прибыли и убытки, движение денежных средств) показателями. Лучше стремиться к тому, чтобы каждый из них мог уместиться на одном печатном листе. Зачастую трудно удержаться от соблазна расшифровать каждую цифру (например, в плане доходов и расходов расписать выручку по видам продукции, группам клиентов, каналам сбыта и т. п.). Если в план доходов и расходов включить сотню видов готовой продукции и статей затрат, это значительно затруднит его восприятие. Тем не менее с точки зрения информативности полезно подобные планы дополнять различными относительными показателями (например, в баланс внести показатели структуры активов и пассивов (удельные веса статей в валюте баланса), в план доходов и расходов – рентабельность).

В плане доходов и расходов (табл. 4.3) строки «Операционные расходы» и «Операционные доходы» заполняются при помощи ссылок на соответствующие ячейки функциональных планов. Выручка расшифрована по видам услуг, затраты – по статьям. В этом случае такая расшифровка допустима, поскольку не утяжеляет восприятие отчета и не усложняет его анализ. Кроме того, в отчет включены два аналитических показателя – рентабельность (как отношение прибыли к выручке) и прибыль нарастающим итогом. Если понадобится провести более глубокий анализ, в частности, динамики доли оплаты труда в себестоимости услуг, все необходимые для этого расчеты лучше проводить на отдельном листе.

Таблица 4.3

План доходов и расходов в финансовой модели предприятия, тыс. руб.

План движения денежных средств (табл. 4.4) в нашем примере формируется со следующими допущениями.

Таблица 4.4

План движения денежных средств, тыс. руб.

Первое: разделы «Финансовая деятельность» и «Инвестиционная деятельность» исключены из плана. Предполагается, что предприятие осуществляет только операционную деятельность, не привлекая заемные средства и не осуществляя капитальные вложения. Еще одно допущение. Предприятие оказывает услуги физическим лицам за наличный расчет, а значит, время оказания услуги и ее оплаты совпадает – в итоге у предприятия нет дебиторской задолженности. Ситуация с платежами по операционной деятельности не так однозначна. Зарплата и аренда выплачиваются в месяце, следующем за месяцем начисления, а управленческие расходы – в месяце их осуществления.Последнее, что остается сделать, – создать прогнозный баланс (табл. 4.5). Данные по оборотам за период берутся из ПДР и ПДДС, начальные остатки – из баланса за предыдущий период (здесь допустимо ручное внесение информации).

Таблица 4.5

Прогнозный баланс, тыс. руб.

Построенная таким образом финансовая модель обозначает основные группы показателей, характеризующих деятельность предприятия (доходы, расходы, денежные средства и т. п.), увязывает их в три сводных плана. Даже эту простейшую на первый взгляд модель можно использовать для сценарного анализа. В частности, если исключить из плана продаж услугу № 1(соответствующую строку удалять не нужно, достаточно проставить по ней нули), то можно увидеть, насколько ухудшатся показатели рентабельности и ликвидности.

Чтобы превратить модель в полноценный инструмент сценарного анализа, потребуется «насытить» ее аналитикой, детализировать исходную информацию до показателей, которыми можно управлять на практике. Например, в случае с предприятием, оказывающим услуги, очевидна необходимость детализации плана продаж, внесенного ранее в модель в денежном выражении. Выручку по каждому виду услуг можно рассчитать как произведение цены единицы услуги и количества указанных услуг. На практике, естественно, план продаж формируется исходя из конъюнктуры рынка, ожидаемого спроса, предполагаемой цены реализации, достигнутых договоренностей с ключевыми клиентами, запланированных маркетинговых мероприятий, ценовой и кредитной политики и т. д.

Аналогично детализируются и другие исходные данные. Например, арендную плату можно было бы разложить на площадь арендуемого помещения и стоимость одного квадратного метра, зарплату расписать по сотрудникам, управленческие расходы разбить по видам. В итоге функциональность финансовой модели предприятия развивается до такого уровня, что можно увидеть, как влияет изменение любого, даже самого незначительного параметра на конечный результат.

Сверстать подробную финансовую модель предприятия – задача интересная, но сложная. Потребуется скрупулезно изучить и адекватно математически описать существующие взаимосвязи как внутрипроизводственных процессов, так и внешних факторов. Силами одной финансовой службы такую модель не сделать, понадобится участие всех служб предприятия – от департамента продаж до бухгалтерии.

Использование финансовой модели при планировании деятельности помогает увидеть, как те или иные планы развития отражаются на структуре активов, пассивов, доходов и расходов предприятия, а также определить, от каких факторов в наибольшей степени зависят будущая прибыль, ликвидность и финансовая устойчивость. Модель служит скорее инструментом мониторинга текущей ситуации на предприятии и выработки адекватной финансовой политики.

Финансовую модель предприятия стоит использовать в процессе бюджетирования сразу же после утверждения плана продаж. Если план продаж «прогнать» через модель, то полученный финансовый результат можно показать акционерам, чтобы установить целевые значения по затратам, прибыли, дивидендам. Если планируемая выручка не обеспечивает необходимой прибыли с точки зрения акционеров, прямо в модели корректируются влияющие показатели. Окончательный вариант расчетов модели определяет целевые значения бюджетных лимитов для всех центров финансовой ответственности. В течение года финансовую модель предпредприятия можно будет корректировать, проставлять по пройденным месяцам фактические данные вместо плановых и контролировать таким образом финансовые результаты, отслеживать негативные тенденции и четко понимать, к чему они приведут предприятие.

Финансовая модель в Excel дает возможность:

• спланировать деятельность по проекту, внести ясность в соотношение его эффективности и планируемых затрат на его реализацию;

• проанализировать финансовые показатели проекта, такие как как NPV, IRR, PBP, WACC и др.;

• вводить и анализировать любые изменения в проект.

К преимуществам использования моделирования в Excel относится то, что получаемая финансовая модель гибка и понятна. Вы с любой момент можете посмотреть формулу расчета того или иного показателя и изменять исходные данные проекта по своему усмотрению. Еще одно преимущество построения финансовой модели в Excel - то, что все расчеты идут последовательно и обоснованно.

Для построения финансовой модели в Excel необходима следующая информация по проекту:

• баланс компании на последнюю отчетную дату;

• список продуктов, цены, объем продаж, способы оплаты;

• перечень издержек компании, таких как прямые и общие издержки, заработная плата персонала;

• условия финансирования;

• инвестиционный план проекта;

• условия лизинга (если имеется).

Выходами финансовой модели в Excel являются:

• отчет о прибыли и убытках;

• отчет о движении денежных средств;

• баланс;

• финансовые показатели проекта.

4.4. Использование программы Project Expert в