Пример определения устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова

Необходимо определить устойчивость САУ, структурная схема которой представлена на рисунке 65, числовые значения данных представлены в таблице на рисунке 66.

 

Решение:

 

Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

 

D(s) = (2.42.)

 

Подставив в уравнение , получим:

 

(2.45.)

 

Преобразуем уравнение в следующий вид:

 

(2.46.)

 

Выделим действительную и мнимую части:

 

; (2.47.)

 

Для построения годографа Михайлова составим таблицу значений (рисунок 70):

 

		7.817	13.176	132.9
	19.35		−35.49
		5.0654		−13386.75

 

Рис.70. Таблица значений

 

С помощью таблицы значений построим на комплексной плоскости годограф Михайлова и представим его на рисунке 71.

Рис.71. Годограф Михайлова

 

Анализируя годограф на рисунке 71 в соответствии с критерием Михайлова можно сделать вывод, что САУ устойчива, т.к. годограф начинается на действительной оси и с ростом ω от 0 до обходит последовательно в положительном направлении 4 квадранта комплексной плоскости.

Критерий Найквиста

В 1932 г. американский физик Найквист сформулировал критерий устойчивости САУ, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура. Критерий Найквиста сформулирован следующим образом – если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то необходимым и достаточным условием ее устойчивости в замкнутом состоянии будет условие, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до+ ¥ не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).

р = jw, получим АФЧХ разомкнутой системы n - ного порядка:

(2.49.)

Указанную АФЧХ разомкнутой системы построим на комплексной плоскости при увеличении частоты от 0до +¥, что показано на рисунке 72.

Рис.72. Критерий устойчивости Найквиста:

1 – АФЧХ устойчивой системы, 2 – АФЧХ системы на границе

устойчивости, 3 – АФЧХ неустойчивой системы

В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы пройдет через точку с координатами

(-1; j0), как видно из рисунка 72 (график 2), система будет находиться на колебательной границе устойчивости. В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы будет охватывать точку с координатами (-1; j0), замкнутая система будет являться неустойчивой (рисунок 72, график 3).