Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости

Устойчивость системы автоматического управления является одной из важнейших характеристик системы, т.к. от нее зависит работоспособность системы. Система, у которой отсутствует устойчивость, не может качественно решать задачу управления. Отсутствие устойчивости также может привести к разрушению самой системы в процессе управления или разрушению объекта управления, поэтому использование неустойчивых систем нецелесообразно .

Устойчивость системы автоматического управления - это свойство системы воз-

вращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему состояния первоначального равновесия.

Примером устойчивых и неустойчивых систем могут служить системы из шарика, расположенного на вогнутой и выпуклой поверхности, представленные на рисунке 60.

Рис.60. Примеры систем: а) устойчивой; б) неустойчивой

На рисунке 60а шарик, расположенный на вогнутой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, после окончания внешнего воздействия возвратится в положение первоначального равновесия. При отсутствии трения о поверхность или его минимальном значении шарик будет совершать непродолжительные колебания около положения равновесия до возвращения в первоначальное положение равновесия (кривая 1— затухающий колебательный процесс). При большом трении шарик возвратится в положение первоначального равновесия без колебаний (кривая 2 — апериодический процесс). При очень большом значении трения шарик может не вернуться в положение первоначального равновесия (кривая 3), но возвратится в область, близкую к положению равновесия. В рассмотренном случае налицо наличие устойчивой системы. В устойчивых САУ возникают подобные переходные процессы (затухающие колебательные и апериодические).

На рисунке 60б шарик, расположенный на выпуклой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, не возвратится в положение первоначального равновесия (кривая 4), поэтому система является неустойчивой. В неустойчивых системах возникают переходные процессы виде расходящихся колебаний (кривая 5) или апериодические (кривая 4).

Неустойчивость САУ, как правило, возникает из-за очень сильного действия обратной связи. Причинами динамической неустойчивости обычно являются значительные инерционные характеристики звеньев замкнутой системы, из-за которых сигнал обратной связи в режиме колебаний так отстает от входного сигнала, что оказывается с ним в фазе. Получается, что характер действия отрицательной обратной связи приобретает характер

положительной.

Составим математическое описание устойчивости и неустойчивости. Так как устойчивость системы зависит только от характера ее свободного движения, то данное свободное движение системы можно описать однородным дифференциальным уравнением:

(2.19.)

характеристическое уравнение, которого будет представлено следующим выражением:

(2.20.)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.19.) представим в следующем виде:

(2.21.)

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий, p_k – корни характеристического уравнения.

Корни характеристического уравнения могут быть комплексными (p_k = α_k ± jβ_k), действительными (p_k = α_k) или мнимыми (p_k= jβ_k). Комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой, т.е. если имеется корень уравнения с положительной мнимой частью, то обязательно будет существовать корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. y(t) при t→ ∞ из (2.21.) будет стремиться к нулю лишь тогда, когда каждое слагаемое С_к е ^pkt→ 0. Характер данной функции будет зависеть от вида корня. Возможные случаи расположения корней p_kна комплексной плоскости и соответствующие им функции y(t) = С_ке ^pktпредставлены на рисунке 61. Вид функций показан внутри эллипсов.

Рис.61. Влияние расположения корней характеристического уравнения на

составляющие свободного движения системы

На рисунке 61 видно, что если каждому действительному корню p_k = α_k для выражения (2.21.) будет соответствовать слагаемое:

y_к (t) = С_ке ^αkt (2.22.)

тогда приα_к < 0 (корень p₁) функция при t → ∞ будет стремиться к нулю, при α_к > 0 (корень p₃ ) функция будет неограниченно возрастать, а при α_к = 0 (корень p₂ )функция будет оставаться постоянной.

Если характеристическое уравнение будет иметь комплексные корни, то каждой паре сопряженных комплексных корней p _{k, k+1}= α _k± jβ_{k ,} будут соответствовать два слагаемых, которые можно объединить и представить в виде следующего выражения:

Данная функция представляет собой синусоиду с изменяющейся по экспоненте амплитудой и частотой β_k. При отрицательной действительной части двух комплексных корней α_{к, к+1} < 0, (корни p₄ и p₅)колебательная составляющая функции будет затухать, а при положительной действительной части α_{к, к+1} > 0, (корни p₈ и p₉) амплитуда колебаний будет увеличиваться неограниченно. При отсутствии действительной части комплексных корней α_{к, к+1} = 0 (корни p₆ и p₇), т.е. наличии только мнимых корней, функция будет представлять собой незатухающую синусоиду с частотой β_k.

Исходя из определения устойчивости, если первоначальное положение равновесия принимается за ноль, то у устойчивых систем величина выходного параметра с течением времени должна стремиться к нулю, т.е. система сама возвратится в положение равновесия. Необходимым и достаточным условием этого является, чтобы все слагаемые решения дифференциального уравнения (2.21.) с течением времени стремились к нулю, что может быть достигнуто при отрицательных действительных корнях уравнения, а комплексные корни должны иметь отрицательную действительную часть. Существование хотя бы одного положительного действительного корня или пары комплексных корней с положительной действительной частью приведет к тому, что величина выходного параметра системы не возвратится к первоначальному значению, т.е. система будет неустойчивой.

Анализируя местоположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, представленное на рисунке 62, можно заметить, что САУ является устойчивой, если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости и все они являются действительными отрицательными или комплексными с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного корня в правой полуплоскости будет характеризовать неустойчивость системы.

Устойчивость системы является внутренним свойством системы, зависящим только от вида корней характеристического уравнения, описывающего свойства системы, и не зависящим от внешнего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положение всех корней уравнения в левой (отрицательной) полуплоскости.

Положительную и отрицательную полуплоскости, в которых находятся положительные или отрицательные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость системы, разделяет мнимая ось ± jβ. Данная ось является границей устойчивости, поэтому если у характеристического уравнения есть одна пара чисто мнимых корней p _{k, k+1}=± jβ_k, а другие корни находятсяв отрицательной полуплоскости, то система характеризуется наличием незатухающих колебаний с частотой ω = β_к . Принято считать, что в таком случае система находится на колебательной границе устойчивости.

Точка β = 0 на мнимой оси соответствует нулевому корню. Считается, что уравнение, имеющее один нулевой корень, находится на апериодической границе устойчивости, а при наличии двух нулевых корней система неустойчива.

Рис.62. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы на

комплексной плоскости

Не стоит забывать, что уравнения почти всех реальных САУ не являются линейными, а приведены к линейным уравнениям с помощью линеаризации, поэтому допущения, сделанные при линеаризации, могут повлиять на правильность определения устойчивости системы.

А. М. Ляпунов в 1892 г. в своей работе «Общая задача об устойчивости движения» привел доказательство теоремы, в которой были сделаны следующие выводы для линеаризованных уравнений:

1. Если все действительные корни характеристического уравнения системы являются отрицательными, то система считается устойчивой.

2. Если хотя бы один действительный корень характеристического уравнения системы положительный, то система считается неустойчивой.

3. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то нельзя судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению.

Следовательно, вывод об устойчивости реальных систем необходимо делать на основе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.

Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают необходимое и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.

Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.