Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если функция определена в некотором промежутке , достигает в некоторой внутренней точке этого промежутка наибольшего (или наименьшего) значения, существует конечная производная , то .

Доказательство. По условию в точке функция достигает, допустим, наибольшего значения, что означает , т.е. .

Пусть . Тогда и . По условию в точке существует конечная производная, следовательно,

.

Пусть . и , следовательно, .

Сопоставляя неравенства и , заключаем, что .

Геометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Теорема Ролля. Если функция непрерывна в замкнутом промежутке , дифференцируема по крайней мере в открытом промежутке , принимает на концах промежутка равные значения , то внутри промежутка существует точка такая, что .

Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция в замкнутом промежутке достигает своего наибольшего значения и своего наименьшего значения . Пусть , где . Возможны только два случая:

1) Обе точки совпадают с концами промежутка . Тогда из третьего условия теоремы следует, что и что функция постоянна в . Следовательно, в любой точке этого промежутка .

2) Хотя бы одна из точек или не совпадает ни с одним из концов промежутка . Обозначим эту точку . Она находится внутри промежутка и в ней функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Кроме того, в точке существует производная функции. Согласно теореме Ферма в этой точке .

Геометрическое содержание теоремы Ролля состоит в том, что если выполнены условия теоремы, то внутри промежутка существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 6).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна в замкнутом промежутке , дифференцируема по крайней мере в открытом промежутке , то внутри промежутка существует точка такая, что выполняется равенство

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Функция удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля при любом , как сумма двух непрерывных и дифференцируемых функций и . Она удовлетворяет третьему условию теоремы Ролля при специальном выборе числа из условия , т.е. если . При таком функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а поэтому в силу эаключения этой теоремы внутри промежутка существует значение , при котором . Последнее равенство можно записать в виде или . Откуда .

Выведенная формула называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Из нее непосредственно следует соотношение

Теорема Коши. Если функции и непрерывны в замкнутом промежутке , дифференцируемы по крайней мере в открытом промежутке , в промежутке , то внутри существует значение такое, что имеет место равенство .

Доказательство. Из третьего условия теоремы следует, что , в чем можно убедиться рассуждением от противного. В самом деле, если , то, по теореме Ролля, примененной к функции (здесь выполнены все условия теоремы Ролля), получается, что в некоторой внутренней точке промежутка . Но это противоречит третьему условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию , где число. Функция удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля при любом как сумма двух непрерывных и дифференцируемых функций. Она будет удовлетворять и третьему условию теоремы Ролля, если выбрать такой, чтобы , т.е. , откуда . Поэтому в силу заключения этой теоремы существует внутри число такое, что имеет место равенство , или . Следовательно, .

Заметим, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши, соответствующий случаю .

.Раскрытие неопределенностей

Пусть функции и определены в окрестности некоторой точки .

Рассмотрим при следующие выражения: .

Условимся в следующем. Назовем

1) неопределенностью вида отношение двух бесконечно малых (случай ),

2) неопределенностью вида отношение двух бесконечно больших (случай ),

3) неопределенностью вида разность двух бесконечно больших одного знака (случай ),

4) неопределенностью вида произведение бесконечно малой на бесконечно большую (случай ),

5) неопределенностью выражение (случай ),

6) неопределенностью выражение (случай ),

7) неопределенностью выражение (случай ).

Раскрыть неопределенность того или иного вида – это значит найти предел соответствующей функции.

Рассмотрим прежде всего случай отношения бесконечно малых.

Теорема Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых существует и равен пределу отношения их производных:

(в этом состоит так называемое правило Лопиталя), если выполнены следующие условия: 1) функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки и в ; 2) ; 3) существует предел .

Доказательство. Приведем доказательство теоремы для случая, когда число. Функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши в промежутке между и , где фиксировано в . Поэтому внутри этого промежутка существует такое число , что и , т.к. согласно непрерывности и в точке и второго условия теоремы, имеем .

При переменная , заключенная между и , тоже стремится к . При этом в силу третьего условия теоремы существует предел отношения функций и он равен

Сформулируем теорему, относящуюся к случаю неопределенности вида .

Теорема. Если и определены и дифференцируемы при всех в окрестности точки , где , существует предел , то существует предел отношения к и он равен пределу отношения производных этих функций .

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а приводится к неопределенности вида или путем преобразования произведения функций к виду отношения или .

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а можно привести к неопределенности вида путем представления разности в виде отношения

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а можно раскрыть с помощью тождества , которое имеет место при условии .