Теорема Остроградского – Гаусса.

Знание в каждой точке пространства позволяет найти поток вектора через любую поверхность.

Поскольку для идеальной жидкости дает мощность источников в бесконечно малом объеме , то в заданном объеме конечных размеров мощность источников определяется соотношением .

Вся жидкость, порожденная источниками в объеме в единицу времени должна, в силу ее несжимаемости, выйти за пределы объема через его поверхность . Но объем жидкости, вытекающий через поверхность в единицу времени есть поток жидкости через поверхность , ограничивающую объем (в соответствии с определением потока вектора скорости частиц жидкости). Поэтому можно утверждать, что справедливо соотношение:

. (13.22)

Соотношение, аналогичное (13.22)справедливо для любого векторного поля:

, (13.23)

и носит название теоремы Остроградского – Гаусса.

Циркуляция

Допустим, что неким фантастическим образом мы можем мгновенно заморозить любой объем некоторой движущейся жидкости. И в некоторый момент времени мы мгновенно замораживаем всю жидкость , кроме тонкого замкнутого канала постоянного сечения , по центру которого проходит контур . Возникает вопрос: жидкость в канале остановится, или будет двигаться? Если двигаться, то в каком направлении… Очевидно, что результат зависит от характера течения жидкости, с одной стороны, и ориентации в пространстве канала и контура . Интуитивно понятно, что если говорить о движении жидкости типа течения реки, когда у дна (за счет взаимодействия с ним) скорость частиц должна быть меньше, чем у поверхности, результат будет зависеть от ориентации в пространстве контура. Если плоскость контура совпадает с направлением течения, и и контур расположен вертикально, то в верхней части контура импульс частиц жидкости больше, и это вызовет вращение жидкости в канале. Если представить контур в горизонтальной плоскости, то жидкость вращаться не будет, и т.д.

Для математического описания задачи примем в качестве меры движения жидкости величину произведения скорости движения жидкости на длину, контура : , которую называют циркуляцией.

В момент затвердевания у частиц жидкости будет погашена составляющая импульса, перпендикулярная стенкам и останется только тангенциальная составляющая. Жидкость в отрезке длиной будет иметь импульс . ( - плотность жидкости, - объем элемента контура длиной , проекция скорости частиц жидкости на направление ). Вследствие идеального взаимодействия частиц жидкости происходит выравнивание их импульсов и жидкость начинает двигаться со скоростью . При этом выполняется закон сохранения импульса, так, что импульс жидкости в канале должен быть равен сумме составляющих импульса в элементах канала в направлении контура:

, (13.24)

Поэтому циркуляция

(13.25)

В общем случае циркуляцией вектора по контуру называют:

(13.26)

Важнейшим свойством циркуляции является ее аддитивность.То есть если некоторая поверхность , ограниченная контуром разбита на площадки то циркуляция по контуру, ограничивающему равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим :

(13.27)

Ротор вектора

Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие об удельной циркуляции, то есть можно рассматривать отношение циркуляции С по контуру ограничивающему S, к величине S: .

Для неаддитивной величины рассматривать ее удельную величину бессмысленно. Например, возьмем удельную температуру площадки S: . Температура величина неаддитивная, и от деления площадки на части не меняется. Если площадку разделить на части , то их «удельная Т» будет возрастать, при уменьшении , до бесконечности, ничего не характеризуя. Если взять аддитивную величину массу, то удельная масса площадки в « » не уходит, а является поверхностной плотностью площадки, характеризует распределение массы по поверхности. Циркуляция величина аддитивная, и об удельной циркуляции имеет смысл говорить.

Однако, удельная циркуляция является макроскопической характеристикой, усреднённо характеризует свойства поля в пределах площадки S. Для описания свойств поля в точке можно использовать удельнную циркуляцию в точке :

. (13.28)

Этот предел зависит не только от способности данного поля «создавать» циркуляцию, но и от ориентации в пространстве площадки S, то есть контура ее ограничивающего. Ориентацию контура принято задавать направлением положительной нормали, направление которой связано с направлением обхода контура при вычислении циркуляции, правилом правого винта.

Предел (13.28),найденныйдля противоположно ориентированных положительных , отличается только знаком. Противоположным направлениям соответствует противоположные при вычислении . Существуют такие направления, , для которых предел (13.28) достигает максимального значения и такие, когда обращается в нуль.

Получается, что предел (13.28)ведет себя как проекция некоторого вектора на ось, направленную в сторону нормали, соответствующей максимальному значению предела .Если этот вектор направлен в сторону , его проекция максимальна, если он ей перпендикулярен, проекция равна нулю, и проекция отрицательна для направления, противоположного .

Этот вектор и называется ротором вектора и обозначается

.

Максимальное значение предела (13.28)определяет модуль , а соответствующее направление нормали – направление .

Таким образом, можно утверждать, что при произвольной ориентации контура предел (13.28) дает проекцию ротора на направление нормали , задающей ориентацию контура в пространстве:

. (13.29)

13.8 Выражение для в декартовой системе координат

Соотношение (13.29) позволяет найти проекцию ротора вектора на заданное направление. Поскольку является вектором, для его определения необходимо задать его проекции на оси координат. Это позволит найти вектор в целом:

(13.30)

Поэтому представим контур в виде прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат и (рисунок 13.5). Выберем направление обхода контура так, как указано стрелками, чтобы нормаль к контуру совпадала с направлением оси . Площадь контура равна . Найдем циркуляцию по такому контуру и, разделив ее на площадь контура, получим выражение для проекции ротора на ось .

На участке 1 , поскольку на этом участке элементы контура направлены навстречу оси . На участке 3 . Аналогичные соотношения справедливы и для участков 2 и 4. Будем считать и достаточно малыми, чтобы проекцию вектора на этих участках можно было бы считать постоянной. Тогда для циркуляции по контуру можно записать:

. (13.31)

Приращение составляющей при смещении на представим в виде:

. (13.32)

Соответственно

. (13.33)

Поэтому циркуляция по контуру, ориентированному нормалью вдоль :

. (13.34)

Разделим на , и для проекции ротора на ось получим:

. (13.35)

Рассуждая аналогичным образом для проекций на и можем записать:

, (13.36)

. (13.37)

Осталось подставить найденные проекции ротора в формулу (13.30):

.

Теорема Стокса

Знание в каждой точке поверхности S позволяет найти циркуляцию по контуру Г, ограничивающему S. Для этого разобьем S на малые , каждую из которых можно считать плоской и описывать вектором . Тогда

. (13.38)

В силу аддитивности циркуляции, циркуляция по контуру Г, ограничивающему S

. (13.39)

В пределе, при , учитывая, что , получаем :

. (13.40)

Это соотношение называют теоремой СТОКСА.