Соотношения векторного анализа

<54 55 565758 59 60 >

При использовании оператора Ñ необходимо помнить, что он является векторным и дифференциальным одновременно и действует на функции, записанные непосредственно после него.

Градиент произведения скалярных функций по правилам дифференцирования:

. (13.45)

Аналогично дивергенция произведения скалярной функции на векторную по правилам дифференцирования:

. (13.46)

Поскольку градиент является векторной функцией, то от него можно взять дивергенцию. При этом необходимо учесть векторный характер оператора Гамильтона:

. (13.47)

Считая Ñ вектором, преобразуем правую часть (13.46):

. (13.48)

Поскольку квадрат оператора Гамильтона часто встречается в выражениях

его обозначают одним символом и называют оператором ЛАПЛАСА.

Поэтому для дивергенции градиента скалярной функции можем записать:

. (13.49)

Дивергенция ротора с точки зрения векторного анализа представляет собой смешанное произведение векторов, в котором два вектора одинаковы. Геометрический смысл смешанного произведения – объем параллелепипеда, построенного на векторах. Но если в произведении два одинаковых вектора, то объем равен нулю! Поэтому

. (13.50)

Соотношение (13.50) означает, что поле ротора не имеет источников. Поэтому можно утверждать, что если некоторое векторное поле можно представить в виде ротора векторной функции, то это поле не имеет источников. Именно поэтому поток через любую поверхность S, опирающуюся на данный контур Г всегда одинаков в соответствии с теоремой Стокса. Линии поля, представленного в виде ротора всегда замкнуты.

Применим операцию ротор к градиенту скалярной функции:

. (13.51)

В векторном произведении в правой части (13.50) два одинаково направленных вектора. Поэтому оно равно нулю, а значит

. (13.52)

Формула (13.52)означает, что, если некоторое векторное поле можно представить в виде градиента скалярной функции, то ротор, а значит и циркуляция такого векторного поля равна нулю.

Результат применения операции ротор к ротору с точки зрения векторного анализа представляет собой двойное векторное произведение, которое раскрывается по правилу «bac-cab» :

. (13.53)

Поэтому

. (13.54)

<54 55 565758 59 60 >

Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 2507;

Соотношения векторного анализа

Публикации по технике и механике

Публикации по биологии

Публикации по информатике

Публикации по строительству

Публикации по физике

Публикации по химии

Публикации по электронике

Публикации по искусству

Публикации по истории

Публикации по медицине

Публикации по педагогике