Циркуляция и дивергенция электростатического поля

Циркуляция и ротор электростатического поля

Силы электростатического поля являются консервативными. Поэтому их работа на любом замкнутом пути равна нулю:

. (14.55)

Следовательно, циркуляция вектора по любому контуру

. (14.56)

Согласно теореме Стокса, . Поэтому поток через любую поверхность S, опирающуюся на некоторый Г

(14.57)

Поскольку (14.57) выполняется для любой поверхности, то должно быть равно нулю подынтегральное выражение:

(14.58)

Формулы(14.56) и(14.58)означают: невозможно существование электростатического поля такой конфигурации, где . Например, невозможно создать электростатическое поле, отличное от нуля только в определенном объёме. Действительно, по всякому контуру, частично проходящему в этом объеме, циркуляция будет не равна нулю, чего быть не может!

Равенство нулю указывает на то, что можно представить в виде градиента скалярной функции. некоторой скалярной . И действительно

(14.59)

Теорема Гаусса

Вспомним о том, что поток любого вектора через замкнутую поверхность численно равен количеству линий, выходящих из поверхности наружу. Мы доказывали, что количество линий выходящих из положительного заряда одинаково на любом расстоянии от него и равно . Поэтому для точечного заряда справедливо соотношение:

(14.60)

Если внутри некоторой замкнутой поверхности S находится N зарядов , то по принципу суперпозиций . Поэтому поток результирующего поля через поверхность S:

(14.61)

Таким образом, можно утверждать, что поток вектора напряженности электростатического поля, через замкнутую поверхность

, (14.62)

т.е. равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на . Это утверждение называется теоремой Гаусса для вектора напряженности электростатического поля.

Учитывая малость элементарного заряда обычно при рассмотрении макроскопических задач распределение заряда в пространстве, описывают плотностью заряда:

, (14.63)

Соответственно соотношение (14.60)записывают в виде

, (14.64)

Необходимо учесть, что по теореме Остроградского - Гаусса

. Поэтому

, (14.65)

Это равенство должно выполняться для любого объема V, а значит

, (14.66)

Соотношение (13.66) называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме.

<55 56 575859 60 61 >

Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 2313;

Поиск по сайту

Узнать еще