Описание свойств векторных полей

 

Материальный аппарат теории поля – векторный анализ. Будем говорить, что нам задано поле некоторой величины, если во всех точках рассматриваемого объема нам задано значение этой величины.Если в каждой точке пространства или некоторой среды задана скалярная функция , то говорят, что задано скалярное поле. Если величина векторная, то говорят, что задано векторное поле.

Градиент

По определению градиентом скалярной функции называется вектор

. (13.01)

Следует помнить о том, что градиента векторной функции не существует, в силу того, что он просто не определен. Можно рассматривать градиент модуля вектора, но модуль – это скалярная величина.

Физический смысл градиента функции заключается в том, что это вектор, направленный в сторону скорейшего возрастания функции, а по модулю равный производной, взятой вдоль направления скорейшего возрастания.

НАПРИМЕР, если в стакан налит кипяток, то, очевидно, что в стенках стакана устанавливается градиент температуры. Поскольку градиент направлен в сторону скорейшего возрастания величины, то градиент температуры перпендикулярен стенкам стакана. Температура изменяется и вдоль направления черной стрелки, но направление СКОРЕЙШЕГО возрастания задается, очевидно, красной.

Величину градиента грубо можно оценить, разделив известное изменение величины на расстояние на котором оно происходит, если это расстояние в направлении скорейшего изменения.

Пока стенки не прогрелись по толщине, можно считать, что на внутренней поверхности температура 100 0С, а на внешней – в соответствии с температурой окружающей среды – 200С. Если толщина стенок 1 мм, то градиент по модулю равен 80 0С/мм = 8 104 0С/м. По мере прогревания стенок температура воды в стакане немного упадет, но на внешней поверхности – сильно возрастет. Разница температур уменьшится и градиент по модулю тоже.

Сравним понятия градиент и скорость. Когда мы говорим «скорость изменения некоторой величины равна…», то обычно подразумеваем, что речь о быстроте изменения величины во времени. Говоря о том, что градиент некоторой величины составляет столько-то, мы говорим о быстроте изменения величины в пространстве, т.е. при изменении пространственных координат.

 

1. Поток вектора

Понятие векторного анализа наиболее наглядны при рассмотрении поля вектора скорости текущей жидкости. Собственно они и возникли в процессе развития гидродинамики, и этим обусловлена терминология, используемая в векторном анализе.

Рассмотрим течение идеальной жидкости, т.е. жидкости несжимаемой, молекулы которой взаимодействуют абсолютно упруго.

По определению, объемжидкости, протекающий в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность называется потоком жидкости через S. Пусть скорость направленного движения частиц жидкости, пересекающих поверхность , равна . Выделим мысленно на поверхности элемент и будем считать, что он настолько мал, что в его пределах скорость направленного движения частиц жидкости одинакова. Ориентацию в пространстве этого элемента зададим ортом нормали к нему . За время через пройдет жидкость, заключенная в объеме

(13.02)

Следовательно, по определению потока, элементарный поток через :

(13.03)

Устремив размеры элемента поверхности к нулю ( → 0), получим соотношение:

(13.04)

Формула (13.04) в соответствии с определением скалярного произведения векторов эквивалентна следующим:

. (13.06)

Тогда поток жидкости через всю поверхность должен определяться соотношением:

(13.07)

Распространив этот подход на все векторные поля, можем сформулировать определение потока произвольного вектора через поверхность :

(13.08)

Основные свойства потока вектора: скалярная алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к .

В случае замкнутых поверхностей всегда используется внешняя нормаль.

 






Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 1701; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.033 сек.