Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского

Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.

Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.

В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:

,

Где - правильная несократимая рациональная дробь;

- общий наибольший делитель многочлена его производной ;

- частное от деления на ;

- неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом называется рациональной частью интеграла.

Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:

Пример6.6.60. ;

Применяем метод Остроградского. Здесь ;

Поэтому наибольший общий делитель: и есть ;

Тогда ;

Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:

где и - многочлены степени не выше второй.

Напишем их с неопределенным коэффициентом

Дифференцируя обе части этого равенства найдем:

;

Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:

, Решая ее, найдем:

,

,

,

,

. Следовательно

.

; ;

и т.д.

Подстановки Эйлера

Интегралы вида

Где - рациональная относительно и функция;

; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.

Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.

Рассмотрим эти подстановки:

1-я подстановка Эйлера.

Так называется подстановка

Она применяется, если

Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).

Рассмотрим одну из них: ; возводя обе части в получим:

видим, что член уничтожается – в этом “соль” данной подстановки

.

Тогда ;

.

т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции

Пример6.6.61. .

Где, .

2-я подстановка Эйлера:

;

Она применяется, когда

Пусть

,

Откуда видно, что рационально выражаются через t и dt.

Пример6.6.62.

где

3 -я подстановка Эйлера:

Пусть , но корни трехчлена действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении – при - отрицателен).

Пусть и - корни трехчлена, кроме того, пусть .

Пример6.6.63.

Где,