Вычисление площади Фигур

Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции

При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), гдеf(x) - неотрицательная, непрерывная на отрезке [a;b] функция , и установили, что площадь указанной фигуры вычисляется по формуле (рис. 1)

Если криволинейная трапеция ограничена .осью ОХ и другой кривой y= f(x), где f(x) - непрерывная, неотрицательная на данном отрезке функция, то для вычисления площади такой фигуры надо предварительно найти абсциссы точек пересечения кривой с осью OX, затем применить формулу (I) (рис. 2).

Если плоская фигура ограничена и снизу и сверху кривыми, уравнения которых y=f₁(x) и y=f₂(x), где a≤x≤b и функции f₁(x), f₂(x) – непрерывны причём f₁(x)≤ f₂(x), искомая площадь будет представлять собой разность площадей криволинейных трапеций aABb и aCDb:

или (рис. 3).

Пусть фигура ограничена сверху или

снизу дугами нескольких кривых. Для

вычисления площади такой фигуры стараются разбить эту фигуру на части прямыми, параллельными оси Оу, так , чтобы каждая часть была ограничена только одной кривой, как сверху, так и снизу.

( для случая, указанного на рис. 4).

Если непрерывная на [a;b] функция f(x) меняет на нем знак так, что некоторые части графика данной функции находятся с одной стороны от оси ОХ, а иные - с другой, то для вычисления площади фигуры поступим следующим образом: в отдельности вычисляют площадь фигуры, расположенной выше оси ОХ, и фигуры ниже оси ОХ.

А затем берут сумму абсолютных величин всех полученных интегралов.

.

Пример 6.7.6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и синусоидой при 0≤х≤2π .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана уравнениями в параметрической форме: