Аппроксимация по методу наименьших квадратов

 

Y Y(x) * * *   0 X

 

Пусть для некоторых значений аргумента "хi" известны значения "yi". Функция "Y", значения которой Y(xi) можно использовать вместо "yi", называется аппроксимирующей функцией. Как правило, аппроксимация применяется для получения функциональной зависимости, описывающей экспериментально полученные значения "yi" при различных "хi".

 

Рассмотрим разработанный Гауссом метод наименьших квадратов, при котором получается наилучшее приближение функции Y(xi) к значениям yi.

Метод заключается в аппроксимации "N" значений "yi" полиномом степени "m":

Y(x) = A0 + A1 * x + A2 * x2 + . . . + Am * xm для которого сумма квадратов отклонений Di = Y(xi)-yi минимальна. Коэффициенты A0, A1, A2, . . . , Am находятся при решении системы уравнений: ¶S/¶A0=0; ¶S/¶A1=0; ¶S/¶A2=0; . . . ¶S/¶Am=0;

где S = D12 + D22 + D32 + . . . + DN2;

 

В случае аппроксимации линейной функцией Y(x)= A0 + A1*x; для определения коэффициентов A0 и A1 необходимо решить систему двух уравнений:

 

N*A0 + [X]*A1 = [Y]; [X]*A0 + [X2]*A1 = [XY];

 

где [X]= x1 + x2 + x3 + ... + xN; [X2]= x12 + x22 + x32 + ... + xN2;

[Y]= y1 + y2 + y3 + ... + yN; [XY]= x1*y1+ x2*y2+ x3*y3+...+ xN*yN;

Решая систему, получаем:

 

A0 = ([XY]*[X]-[Y]*[X2])/([X]*[X] - N *[X2]);

A1 = ([X] *[Y]-[XY]*N) /([X]*[X] - N *[X2]);

 

 






Дата добавления: 2016-06-29; просмотров: 1261; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.025 сек.