Свойства неопределённого интеграла.

Таблицу простейших неопределённых интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Будем исходить из следующего: если , то .

Например 6.6.5.Поскольку то .

Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределённых интегралов:

1. .

2.

3. .

4. . 4a. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. . (если ).

20. .

21. .

22.

Пример6.6.6. .

Пример6.6.7. .

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку х=0, формула 9 – для интервала и т.п.

Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо помнить наизусть.

Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул для производных, поэтому перед изучением настоящей темы необходимо повторить основные формулы дифференцирования функций.

Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, видим:

1) если для дифференцируемости функции непрерывность функции является условием необходимым, но не достаточным, то для интегрируемости функции непрерывность функции на данном отрезке является только условием достаточным, но необходимым.

2) В то время как операция дифференцирования однозначна, операция интегрирования многозначна, ибо если функция имеет первообразную на отрезке, то она имеет и бесчисленное множество первообразных на этом отрезке.

Однако задача отыскания совокупности всех первообразных сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так как все первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.