Первообразная функция.
Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6.6.2.
1)функция - первообразная функции
в интервале , поскольку для всех Х;
2)функция - первообразная функции в интервале т.к.
3) функция - первообразная функции , ибо .
Возникает вопрос, всякая ли функция f(x) имеет на данном промежутке первообразную.
Очевидно, далеко не всякая.
В дальнейшем (в разделе “Определённый интеграл”) нами будет доказана следующая теорема:
Теорема. Любая, непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
Далее возникает следующий вопрос:
Если некоторая функция имеет первообразную, то единственна ли эта первообразная?
Ответ и здесь будет отрицательным.
Так, для функциии первообразной будет не только функция , но и
, , и вообще всякая функция вида , где С – произвольная постоянная.
Функции такого вида исчерпывают все первообразные данной функции .
Справедлива следующая теорема, которая подтвердит последнее утверждение для любых функций.
Теорема. Если F(x) первообразная функции на , f(х) , то , где С производная постоянная, так же является её первообразной.
Определение 2. неопределённым интегралом от данной функции называется множество всех её первообразных: , где
Знак - называется знаком неопределённого интеграла; функция - подынтегральной функцией; выражение - подынтегральным выражением; - переменное интегрирование.
Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрирование.
Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл от данной функции , достаточно найти какую - либо её первообразную и составить сумму ,где С – производная постоянная.
Пример6.6.3. ; .
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2080;