Основные методы интегрирования
К наиболее важным методам интегрирования относятся:
1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);
2) метод замены переменной;
3) метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной (или метод подстановки)
Этот метод основан на следующей теореме:
Теорема. Если F(x)- первообразная функции f(x), а - дифференцируемая функция, то функция также имеет первообразную, причем
Поскольку - формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Таким образом, метод замены переменной состоит в следующем:
Пусть требуется вычислить , причем непосредственно подобрать первообразную для функции нельзя, но известно, что она существует.
Введем в место х новую переменную t, положив ,
где -дифференцируемая функция.
Тогда
Допустим, что интеграл, стоящий в первой части равенства, легко находится:
Итак, метод подстановок заключается в том, что в данном интеграле переменную х заменяют некоторой функцией от новой переменной t.
Это приводит к новому интегралу , более простому при удачном выборе функции .
После его вычисления в полученном результате заменяют «t» через «x».
Этим самым будет найден интеграл .
Пример6.6.13.
положим ,чтобы все корни извлекались .
Пример 6.6.14.
.
Обязательно возвращаться к исходной переменной х.
При замене переменной очень часто удобно бывает задавать не х как функцию от t, а, наоборот, задавать t как функцию от x и писать подстановку в виде
Теоретически оба эти способа равнозначны.
Рассмотрим ряд примеров на применение подстановки .
Пример 6.6.15.
.
Пример 6.6.16. .
Пример 6.6.17. .
В последних двух примерах иногда интегрирование целесообразно выполнять без формального введения новой переменной (новой буквы) – применить способ подведения под знак дифференциала.
Доказано, по определению дифференциала функции, .Переход в этом равенстве слева направо называют «подведением множителя под знак дифференциала».
Если под интегральное выражение может быть разбито на 2 множителя, один из которых есть дифференциал некоторой функции , а другой представляет собой легко интегрируемую функцию от t:
, то целесообразно подстановку производить устно, в уме, это освобождает от излишней записи и ускоряет операцию интегрирования.
Так, в рассмотренных выше примерах это будет выглядеть таким образом.
Пример6.6.18. .
Пример 6.6.19. .
Пример 6.6.20. .
Заметив, что подведем под знак дифференциала
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1972;