Сумма и разность векторов. Представление вектора в координатах.

Если два вектора и исходят из одного начала, то сумма этих векторов есть вектор, который получается, когда вектор параллельно себя переносим так, чтобы его начало совпало с концом вектора и соединяем начало вектора с концом вектора после параллельного переноса (рис. 2.5).

Если два вектора и исходят из одного начала, то разность этих векторов есть вектор, исходящий с конца вектора к концу вектора (рис. 2.5).

Отметим, что, как видно из рисунка 2.5, сумма векторов по модулю равна длине большей диагонали, а разность векторов по модулю равна длине меньшей диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах и , как на сторонах.

Пример 2.3. Найти и , если известно, что и угол между ними

Решение.По теореме косинусов имеем

Тогда

Ответ:

Вектор в двумерной и трехмерной прямоугольной системе координат можно представить в виде разложения по его координатам. Как известно, единичными векторами осей и в двумерной системе координат являются векторы и , a единичными векторами осей и в трехмерной системе координат являются векторы и Модули единичных векторов равны единице а их направления совпадают с положительными направлениями осей и , соответственно. Эти единичные векторы составляют базис в прямоугольной системе координат. Рассмотрим вектор исходящий из начала координат (рис. 2.6). С конца вектора (точка ) проведем перпендикуляры к осям и . Направленный отрезок называется иксовой координатой вектора и обозначается через а направленный отрезок называется игрековой координатой вектора и обозначается через Очевидно, что а Но по правилам суммы векторов имеем Итак, если то разложение вектора по его координатам имеет вид (рис. 2.6)

(2.11)

Аналогично, в трехмерной прямоугольной системе координат имеет место разложение вектора по его координатам в виде (рис. 2.6)

(2.12)

Отметим также, что на основе теоремы Пифагора можно модуль вектора выразить через его координаты следующим образом

Пример 2.4. Дан вектор . Разложить его по базису

Решение.Согласно (2.11) имеем

Ответ: