Скалярное произведение двух векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов умноженное на косинус угла между ними, то есть
(2.13)
Так как , то Это означает, что если в скалярном произведении поменять векторы местами, то его значение не изменится.
Если векторы и даны своими координатами в двумерной системе координат, то есть и , то их скалярное произведение равно
(2.14)
Используя то, что
,
из (2.14) получим
(2.15)
Аналогичный результат получается и в случае, когда векторы и со своими координатами даны в трехмерной прямоугольной системе координат. Итак
(2.16)
где координаты вектора , а координаты вектора . (2.15) и (2.16) представляют выражения скалярного произведения двух векторов в координатах.
Из (2.13) с учетом (2.16) нетрудно заметить, что
(2.17)
Теорема 2.1.Равенство нулю скалярного произведения двух не нулевых векторов и является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и
Доказательство:
Необходимость. Дано, что Доказать, что
На самом деле, по условию теоремы векторы перпендикулярны, значит угол между ними равен Тогда
Достаточность. Дано, что Доказать, что По условию теоремы и с учетом
(2.13) имеем Но так как ни один из векторов не нулевой, то
Отсюда следует, что то есть
Пример 2.5. Даны векторы и Найти угол между ними.
Решение.Очевидно, что и Тогда по формуле (2.17) имеем
и
Ответ:
Пример 2.6. Показать, что векторы и перпендикулярны.
Решение.Скалярное произведение этих векторов, вычисленное по формуле (2.16), равно
Тогда согласно теореме 2.1 векторы и перпендикулярны.
Ответ:
Пример 2.7. Найти проекцию вектора на ось (рис. 2.7).
Решение.Согласно рисунку 2.7 имеем
Ответ:
Пример 2.8. Даны векторы Найти вектор который удовлетворяет условиям
Решение.Согласно (2.16) имеем
Решение полученной системы найдем по правилам Крамера (2.10), предварительно вычисляя определители
Тогда по формулам (2.10) найдем координаты вектора в виде
Таким образом, получаем, что
Ответ:
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 344;