Передаточная функция W(p) выбрана таким образом, что линейная система на рисунке 1 обладает свойством условной устойчивости по Бодэ.

Коротко говоря, эти системы можно охарактеризовать следующим свойством:

существует такое значение К=К₁, что система устойчива при К>К₁ и неустойчива при К<К₁, т.е. интервалу устойчивости предшествуетинтервал неустойчивости.

Возможны различные варианты расположения интервалов устойчивости и неустойчивости замкнутой линейной системы, условно показанные расположением траектории одного из корней характеристического уравнения в таблице 2.

В таблице 1 приведены аналитические выражения некоторых передаточных функций W(p) разомкнутых систем для условно устойчивых по Боде замкнутых систем.

Таблица 1 (передаточных функций разомкнутых систем для условно устойчивых по Боде замкнутых систем).

Передаточные функции W(p).

1a	1b
2а	2b
3а	3b
4а	4b
5а	5b

Таблица 2.

Варианты траекторий корней условно устойчивых систем.

Выбираем значение К из условий устойчивости замкнутой системы (рис. 2). Это значение должно находится внутри интервалаустойчивости:

Где величина К* зависит от ряда конкретных причин, на которых не будем останавливаться, но существенно, что она близка к границе устойчивости.

Почему решили выбирать К именно таким образом, чтобы обнаружить влияние ограничения сигнала на динамику системы? Дело в том, что в ряде математических работ уже давно указывалось на то, что участок слева от границы устойчивости наиболее опасный.

Пример 1.

Рассмотрим случай, показанный в таблице 2 на рисунке 1а.

Рис. 4

Значимая часть корневого годографа.

На вход системы (рис.1) подается импульс, показанный на рисунке 3, высота которого h=10, а ширина T=1. При К 140 на выходе системы получаем автоколебания, к примеру, на рис.5 показаны автоколебания при К=139:

Рис. 5 Процесс регулирования.

При дальнейшем увеличении коэффициента усиления автоколебания исчезают. Например, при К > 140 на выходе системы получаем сходящийся процесс (рис. 6):

Рис. 6

Процесс регулирования.

Пример 2.

Рассмотрим случай, показанный в таблице 2 на рисунке 3b.

В этом примере рассмотрим самое опасное явление, к которому может приводить простейший нелинейный элемент насыщения – возникновение практически расходящихся колебаний.

Рис. 7

Значимая часть корневого годографа.

Положим К=4 и подадим на вход замкнутой системы импульс, показанный на рисунке 3, высота которого h=6, а ширина T=1. Как видно на рис. 8, в системе имеет место расходящийся процесс:

Рис. 8

Процесс регулирования.

При дальнейшем увеличении величины К, мы получим сходящийся процесс. На рисунке 9 показан сходящийся процесс при К=10,2.

Рис. 9

Процесс регулирования.

Вывод.

На основе проведенного численного эксперимента можно сделать заключение, что даже такой простой нелинейный элемент, как ограничение модуля сигнала, может приводить к возникновению весьма опасных динамических процессов: возникновение автоколебаний с большой амплитудой или, что самое опасное, возникновение практически расходящегося процесса. Эти факты указывают на то, что ни в коем случае при составлении математической модели систем автоматического управления не следует бездумно пренебрегать нелинейными явлениями.

В заключение, рекомендуем читателю ознакомиться с книгой Б. Хэссарда, Н. Казаринова и И. Вэна, «Теория и приложения бифуркации рождения цикла», Москва «Мир» 1985, стр. 102, пример «Центробежный регулятор».