Эталоны решения типовых задач

Задача №1: В течение 10 минут на диспетчерский пункт может поступить 0 вызовов с вероятностью 0,2; 1 вызов с вероятностью 0,2; 2 вызова с вероятностью 0,4; 3 вызова с вероятностью 0,1; 4 вызова с вероятностью 0,1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа вызовов за 10 минут.

Решение: Для решения удобно составить таблицу:

Число вызовов хi						∑
Вероятность Pi	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1
xiPi		0,2	0,8	0,3	0,4	1,7
	2,89	0,49	0,09	1,69	5,29	-
	0,578	0,098	0,036	0,169	0,529	1,41

Задача №2. Амплитуда вызванных биопотенциалов мозга (мкВ) х_i появилась с частотой m_i:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что величина амплитуды вызванного биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ.

Решение

Для нахождения математического ожидания М дискретного ряда распределения используем формулу:

где х_i-значения вариант ряда;

Р_i - вероятность (относительная частота появления варианты).

Вероятность Р_i - определяем по формуле:

где n-объем выборки, равный

-частота появления i варианты.

Дисперсию Д определяем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение σ определяем по формуле:

Заполним таблицу:

хi (мкВ)	2,3	4,0	7,4	4,5	6,7	10,0	9,2
mi
	0,06	0,17	0,29	0,23	0,11	0,06	0,09	(условие нормировки)
хi Pi	0,14		2,15	1,04	0,74	0,60	0,83
	0,91	0,82	0,42	0,66	0,03	0,87	0,81

Определяем среднее квадратическое отклонение σ:

=2,13 (мкВ).

Находим вероятность того, что значение биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ, по формуле:

где х=Dφ≤5 мкВ

Функция распределения от отрицательного параметра (-z) определяется выражением:

Таким образом:

Значение Ф(z) определяется по таблице: “Значения нормальной функции распределения” (см. приложения №3).

Ответ: М=6,2 мкВ; Д=4,52(мкВ)²; σ=2,13 мкВ

Р= 0,2877≈29%

Задача №3. Измерения значений естественного фона ионизирующего излучения в импульсах/сек, полученные с помощью пересчетного прибора, дали следующие результаты:

15 19 20 20 21 23 24 16 27 40 30 31 32

35 25 26 30 30 20 28 26 23 18 12 10

Удовлетворяет ли это распределение распределению Гаусса? Построить графики зависимости экспериментальной вероятности попадания значений в каждый из интервалов Р_i и теоретической вероятности Р_теор от средних значений интервалов .

Решение: Из полученных результатов составляем вариационный ряд:

10 12 15 16 18 19 20 20 20 21 23 23 24

25 26 26 27 28 30 30 30 31 32 35 40

Все варианты выборки делят в зависимости от числа вариант на нечетное число интервалов, начиная с трех (k=3, 5, 7, 9, 11, …).

Разобъём вариационный ряд на 5 интервалов. Находим шаг интервала :

,

где -максимальное значение варианты в интервале,

-минимальное значение варианты в интервале.

Тогда

Верхние границы каждого из интервалов определяется по формуле:

где i=1, 2, 3, 4, 5, (i-номер интервала)

Нижняя граница каждого последующего интервала определяется значением верхней границы предыдущего.

Вероятность попадания варианты в данный интервал Р_i (экспериментальная вероятность) определяется по формуле:

где -число вариант в каждом из интервалов, определяемых по вариационному ряду, исходя из значений нижней и верхней границы интервала.

-обьем выборки, в нашей задаче равный 25.

Среднее значение интервала определяем по формуле:

где -сумма значений вариант в интервале.

Математическое ожидания М определяем по формуле:

,

Дисперсию Д определяется по формуле:

,

Среднее квадратическое отклонение

Учитывая все вышеуказанное, заполняем таблицу №1.

Таблица 1.

№ интервала	(имп/сек)	(имп/сек)		Рi	(имп/сек)	(имп/сек)	(имп/сек)2
				0,16	13,25	2,12	18,63
				0,24	19,67	4,72	4,58
				0,32	25,25	8,08	0,47
				0,20	30,60	6,12	8,61
				0,08	37,50	3,00	14,49
						М=24,04	Д=46,78

Примечание. Количество вариант первого интервала определяем, исходя из того, что нижней границией является 10 имп/сек, а верхней – 16 имп/сек, т.е. в первый интервал из вариационного ряда вошли варианты:

10; 12; 15; 16 ( ), среднее значение этого интервала:

.

Во второй интервал вошли варианты: 18; 19; 20; 20; 20; 21. Таким образом, m₂=6, тогда

и т.д.

Среднее квадратическое отклонение равно:

.

Для определения теоретической вероятности попадания варианты в данный интервал находим значения функции распределения Ф(z₂) и Ф(z₁), где ( -верхняя граница соответствующего интервала)

( нижная граница соответствующего интервала).

Если значения z отрицательное, то Ф(-z)=1-Ф(z)

Значение теоретической вероятности попадания варианты в интервал Р_теор определяем по формуле:

Р_теор=Ф(z₂)-Ф(z₁).

Величина функции распределения Ф(z) определяется по таблице (см. приложение №3).

Полученные значения z₂, Ф(z₂), z₁, Ф(z₁) и Р_теор=Ф(z₂)-Ф(z₁) заносим в таблицу №2.

Таблица №2

№ интервала		Ф(z2)		Ф(z1)	Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1)
	-1,18	0,1190	-2,05	0,0179	0,10
	-0,30	0,3821	-1,18	0,1190	0,26
	0,58	0,7190	-0,30	0,3821	0,34
	1,46	0,9279	0,58	0,7190	0,21
	2,33	0,9893	1,46	0,9279	0,06

Сравнивая величины для каждого из пяти интервалов экспериментальной вероятности Рi (см. таблицу №1) и теоретической вероятности попадания варианты в заданный интервал Р_теор (см. таблицу №2), можно сделать вывод, что их значения очень близки друг к другу, следовательно, полученные значения естественного фона подчиняются распределению Гаусса.

Строим графики зависимости экспериментальных вероятностей Рi и теоретических вероятностей Р_теор от средних значений интервалов

экспериментальная кривая

теоретическая кривая.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ