Вероятность избежать резонансного поглощения

В реакторах на тепловых нейтронах из общего числа нейтронов, поглощённых в процессе замедления, подавляющая часть поглощается на резонансах U⁸. Расчёт энергетического спектра нейтронов и вероятности избежать резонансного поглощения в этом случае не может быть выполнен аналитически. Поэтому используем достаточно точные приближения, основанные на физических соображениях.

Отнормируем поток нейтронов на объёмную скорость генерации нейтронов источником S(E)

, (5.24)

тогда, полагая вероятность поглощения нейтронов R_i в интервале i-го резонансного пика с энергией DE_ri малой, можно записать

, (5.25)

и вероятность избежать резонансного поглощения j_i в этом интервале энергий

j_i = 1-R_i » exp(-R_i) (5.26)

Для всех замедляющихся нейтронов будем иметь

, (5.27)

где E_f и E_гр - энергия деления нейтронов и энергия сшивки Ферми и Максвелла.

Вероятность избежать резонансного захвата определяется потоком , который зависит от отношения числа ядер замедлителя и поглотителя. При уменьшении концентрации ядер поглотителя спектр нейтронов приближается к спектру Ферми. В пределе бесконечно малая примесь поглотителя не сказывается на энергетическом распределении потока нейтронов в замедляющей среде и поток в этом случае не возмущён

(5.28)

Подставляя это выражение в (5.27) получим

(5.29)

Уравнение (5.29) позволяет определить вероятность поглощения нейтронов R при условии . Рассчитаем теперь эту величину при любой концентрации ядер поглотителя, при этом в соответствии с (5.25) можно записать:

(5.30)

В реакторах на тепловых нейтронах основное поглощение при их замедлении происходит воспроизводящими нуклидами. Концентрации последних обычно настолько велики, что условие R_i <<1 (5.25) обычно не выполняется, поэтому необходимо при вычислении использовать более точные выражения. Полагая, что среднее расстояние между резонансными уровнями поглощения значительно превышает ширину резонансов, можно показать, что отнормированный поток отличается от асимптотического распределения только на резонансных пиках поглощения.

Учёт этого явления приводит к замене в выражении (5.28) S_s на S_t, т. е. возмущённое значение потока нейтронов , отнормированное на объёмную скорость генерации нейтронов будет иметь вид:

(5.31)

В этом случае в выражении (5.30) заменяя невозмущённый поток на возмущённый (5.31) получим

(5.32)

Последнее выражение можно преобразовать к следующему виду

(5.33)

где N₀ - числовая ядерная плотность топлива;

(5.34)

- эффективный резонансный интеграл;

(5.35)

- эффективное резонансное поглощение.

Таким образом, для вычисления вероятности поглощений всех замедляющихся нейтронов с энергией от E_f до Е_гр необходимо значение I _эфф умножить на концентрацию ядер поглотителя N₀ и асимптотическое значение потока нейтронов в шкале летаргии .

Эффективный резонансный интеграл имеет смысл интегрального в области замедления эффективного сечения поглощения и измеряется в барнах. Величина I _эфф в гетерогенной среде определяется не только сечением поглощения вещества-поглотителя , но и зависит от сечения рассеяния смеси, отнесённого к одному атому поглотителя . При уменьшении концентрации поглотителя параметр увеличивается и эффективное сечение увеличивается. В пределе бесконечного разбавления = . Наоборот, наименьшее значение эффективного резонансного интеграла получается для чистого поглотителя в отсутствие замедлителя. При этом более высокие концентрации поглотителя приводят к резко выраженным провалам потока резонансных нейтронов, а, следовательно, и к меньшему поглощению на одно ядро поглотителя.

Воспользуемся общепринятым определением j, тогда вероятность избежать резонансного поглощения будет определяться (5.27)

(5.36)

При вычислении резонансного поглощения в гетерогенных средах задача ещё более усложняется, поскольку необходимо учитывать, что поток нейтронов зависит не только от энергии нейтронов (как в гомогенной среде), но и от координат, т. е.:

(5.37)

В выражении (5.37) интегрирование по объёму ячейки можно заменить по объёму топлива, пренебрегая поглощением нейтронов в замедлителе, тогда:

(5.38)

здесь - эффективный резонансный интеграл в гетерогенной среде; V₀, V_я - объёмы топлива и ячейки соответственно; N₀ – ядерная концентрация топлива; - средняя по ячейке замедляющая способность.

В реакторах ВВЭР замедляющая способность практически полностью определяется водой и её объёмом, в соответствии с этим расчётная формула для определения вероятности избежать резонансного поглощения принимает вид:

(5.39)

Таким образом, расчёт резонансного поглощения в гетерогенных средах сводится к расчёту эффективного резонансного интеграла. Отметим, что j определяется эффективным резонансным интегралом только для U⁸, а для остальных материалов истинным резонансным интегралом поглощения (при бесконечном разбавлении) I _¥, которое можно найти в справочной литературе.

Для реакторов ВВЭР характерна тесная решётка. В этой связи расчёт эффективного резонансного интеграла для топливных блоков из UO₂ можно свести к эмпирической формуле:

, (5.40)

где g_р - коэффициент затемнения в решётке, вычисляется при значении постоянной Бэлла для третьей энергетической группы =1.27; F - площадь поверхности топливного блока в см²; М₈ - масса поглотителя U⁸ в граммах; S_m - макроскопическое сечение рассеивателя - i, содержащегося в топливном блоке (для UO₂ - кислород, уран 235), которое определяется выражением

S_m= (5.41)

где s_po - микроскопическое сечение потенциального рассеяния i-го лёгкого компонента в топливе для третьей группы находится по справочнику; N_i - ядерная плотность этого компонента; l_i - эффективность i-го рассеивателя, приведено в таблице 2.1.

Таблица 2.1 Эффективность различных рассеивателей

Определение эффективного микроскопического сечения поглощения для U⁸ легко осуществить, зная эффективный резонансный интеграл, в котором поглощение учитывается во всей области замедления от 10 МэВ до Е_гр. Поскольку нас интересует область замедления от 5.5 КэВ до 0.525 эВ, из значения I _эфф, найденного из (5.40) необходимо вычесть его значение, соответствующее интервалу энергий от 10 МэВ до 5.5 КэВ

(5.42)

где DU - значение летаргий для 1 и 2 групп; и - микроскопические сечения поглощения нейтронов в 1 и 2 энергетической группе зоны U⁸.

Тогда искомое значение микроскопического сечения поглощения U⁸ в области резонансов будет равно разности значений (5.40) и (5.42), делённое на значение летаргии в третьей энергетической группе

(5.43)

В данном разделе необходимо ещё раз отметить принципы выбора энергетических групп, на примере четырёхгруппового приближения.

Для первой группы - нижний предел энергии - условная граница порога деления U²³⁸. Вторая группа объединяет надрезонансные нейтроны и ограничена энергией, ниже которой практически отсутствуют нейтроны деления. При таком выборе границ групп, доля нейтронов деления, попадающих в первую группу, c⁽¹⁾=0.752, во вторую c⁽²⁾=0.248. Третья группа охватывает область резонансных энергий, четвёртая включает нейтроны тепловых энергий.

Как мы уже отмечали, резонансные поглощения оказывают влияние на спектр нейтронов, следовательно, и на сечения, поэтому для данной энергетической области следует определить их с учётом резонансного поглощения. Сечения поглощения U⁵, Pu⁹, найдём по формуле:

(5.44)

(5.45)

где - сечение рассеяния i-го элемента смеси, отнесённое к одному атому поглотителя. Эффективное сечение рассеяния U⁸

(5.46)

где l₈=0.2 - эффективность рассеяния U⁸, учитывающая отклонение от приближения узких резонансов; =1,27 - постоянная Бэлла; F=p×d_тв×Н, см² - поверхность топливного блока; М₈=М_U8= , - масса топлива одного ТВЭЛ в граммах.

Аналогично произведение можно найти по формуле:

(5.47)

где А_fⁱ, C_fⁱ, D_fⁱ - эмпирические коэффициенты приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 Значения эмпирических коэффициентов для делящихся нуклидов

Таким образом, на данном этапе подготовлены микроскопические константы ядерных взаимодействий топливных компонент, к ним нужно отнести также справочные значения сечения увода s_R. Тогда гомогенизированные макроскопические средние по ячейке сечения поглощения, увода, деления и в нулевом приближении находятся из выражений

(5.48)

(5.49)

где - макроскопические сечения поглощения нейтронов топливными компонентами и замедлителя соответственно. При расчёте s и n_f ×s_f учитываются эффекты резонансного поглощения и их отличие от экспериментальных не превышает 1%. Однако сечение увода будет зависеть от вероятности избежать резонансного поглощения j. Для расчёта S_R ⁽³⁾ ,будем применять следующую процедуру.

По известным S ⁽³⁾ и находим параметр в нулевом приближении

(5.50)

где - плотность воды при данной температуре (г/см³).

По аппроксимационным формулам определяется вероятность избежать резонансного поглощения в нулевом приближении °j

°j=1-0.9× ° , если ° <1/3

°j=1.16463-1.99614×° + 2.1319×° ²- 0.97539 ° ³, если ° ³1/3.

Тогда исправленное сечение увода будет

(5.51)

И последнее: вероятность избежать резонансного поглощения в отсутствии утечки нейтронов для гомогенизированной активной зоны определяется по формуле:

(5.52)

В этом разделе численные значения коэффициентов в расчётных формулах для расчёта отнесены к температуре топлива 300К без учёта эффекта Доплера. Зависимость эффективного резонансного интеграла от абсолютной температуры топлива T с учётом Доплер-эффекта можно представить в виде

(5.53)

где коэффициент b зависит от типа и состава топлива, а также от отношения F/M₈:

b=(0.535+0.47×l₀)×10^-2 (5.54)

где ;значения обсуждались при рассмотрении (5.40).

Резонансное поглощение нейтронов определяется как температурой на поверхности блока Т_f, так и температурой на его оси Т_макс. Однако основным фактором определяющим Доплер-эффект является поверхностное поглощение, которое зависит от Т_f. В этой связи предложена следующая формула для расчёта эффективной температуры топлива Т, входящей в выражение (5.53)

(5.55)

где усреднённые по высоте температуры топлива на его поверхности и в центре.

Анализируя выражения (5.53) и (5.39) видно, что вероятность избежать резонансного поглощения j убывает с ростом температуры топлива. В существующих ВВЭР реакторах j находится в интервале 0.74-0.79.