Вероятность обслуживания заявки для СМО с отказами

Вероятность обслуживания заявки для СМО с ожиданием

Рассмотрим первоначально случай, когда c = 1 (a = n), и покажем, что .

В этом случае разность вероятностей

так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменателя второй дроби.

Рассмотрим общий случай, когда c ¹ 1:

Разность будет положительной, если положительным является числитель последней формулы; покажем, что он положительный:

Отношение положительно при любом значении c. Покажем, что разность, стоящая в квадратных скобках, тоже положительна:

т.к. каждый член суммы неотрицателен (k £ n).

Таким образом, показали, что при одинаковых параметрах (n, l, m) система с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем система с отказами. Это достигается за счет увеличения времени нахождения заявки в системе, т.е. за счет того, что заявка будет ожидать в очереди.

Пример 4.2. Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаимопомощью, когда каналы могут помогать друг другу, объединяясь в группы, наибольший состав которых равен l < n. При занятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно m. Составить размеченный граф состояний системы и найти основные характеристики работы такой системы.

Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Граф состояний СМО с частичной взаимопомощью и конечной очередью

На этом графе величина h равна целой части отношения . Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом состояний СМО с частичной взаимопомощью (глава 3) или системы массового обслуживания с ожиданием (§ 4.1). Следовательно,

(i = 0, 1, …, h),

P_j = c^j P_h (j = h, h + 1, …n + m),

где .

Для краткости рассмотрим только случай c ¹ 1. Вероятность обслуживания

Среднее число занятых каналов .

Среднее число заявок, находящихся в очереди: