Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.
Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f(x) при заданном изменении аргумента.
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х =х0, за исключением, быть может, самой точки х0.
Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любого числа 
>0 найдется такое положительное число 
, что для любого х 
х0, удовлетворяющего неравенству | х - хо | < 
, выполняется соотношение | f(x) - А | < 
То, что функция f(x) в точке х0 имеет предел, равный А, обозначают следующим образом:
Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х0 + , и х0 - (кроме, быть может, самой точки хс), график функции у = f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)
Рисунок 1
Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х0
Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящимся к х0, если разность f(x) - А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.
Понятие бесконечно малой величины.
В природе существует много таких переменных величин, которые в процессе своего изменения неограниченно приближаются к нулю. Таким величинам присвоено специальное название -"бесконечно малые" величины.
Переменная величина хп называется бесконечно малой, если она в процессе изменения становится и затем остается по абсолютной величине меньше любого, наперед заданного, сколько угодно малого положительного числа, т.е. хп < ( - эпсилон). Рассмотрим колебание математического маятника.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на тонкой, невесомой, нерастяжимой нити.
|
Пусть в начальный момент времени маятник отклонен от положения равновесия на угол 
= 15°. Если маятник отпустить, то он будет совершать колебания. Из-за сопротивления среды амплитуда колебания маятника будет постепенно уменьшаться; поэтому какое бы положительное число ни было задано, угол 
по абсолютной величине станет и впредь будет оставаться меньше .
Следовательно, угол в данном процессе является бесконечно малой величиной.
Примерами бесконечно малой величины являются: масса тающей в воде льдины, разность уровней однородной жидкости в сообщающихся сосудах и т.д.
Пусть задана числовая последовательность аn, n 
N. Тогда последовательность Sn = а1+ а2+а3+…+аn = 
, n N называется числовым рядом и обозначается а1+ а2+а3+…+аn + … или .
Числа а1, а2, … называется членами ряда , соответственно первым, вторым и т.д.; аn называется n – м или общим членом ряда
Ряд 
аn+1+ аn+2+ аn+3+… = 
называется n – м остатком ряда
Согласно определению ряды – это особый вид последовательностей, поэтому можно говорить о сходимости и расходимости рядов.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится.
Если последовательность частичных сумм ряда расходится, то он называется расходящимся.
Ряд а2+а3+…+аn + … или .называется сходящимся, если существует предел 
Этот предел называется суммой ряда а2+а3+…+аn + … или .
Если ряд а2+а3+…+аn + … или сходится и Ы – его сумма, то будем писать 
Теорема 1. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой–нибудь остаток ряда сходится, то и ряд сходится.
Теорема 2. Если ряды с общими членами аn и bn сходятся и 
, 
, то для любых чисел α и β ряд с общим членом сn = αan и βbn сходится и 
Пример:
Решение:
Общий член этого ряда имеет вид
сn = 
Ряды с общими членами аn = 
и bn = 
сходятся и
, 
В силу теоремы 2 данный ряд сходится и 
Теорема 3. (необходимое условие сходимости ряда)Если ряд с общим членом аn сходится, то аn 
при n 
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2553;
Поиск по сайту
Узнать еще
- I. Общие принципы структурно-функциональной организации клетки и её компоненты. Плазмолемма, её структура и функции.
- II. Митохондрии (строение и функции)
- II. Признаки, ресурсы и функции власти.
- III. Функции отдела по делам ГОЧС и ВМР
- III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
- Table 1. Функции ГИС для лесного хозяйства и лесоустройства
- А. Модели экономического прогноза на базе производственных функций.
- А.Н.Леонтьев ПВ – это профессиональное общение педагога, имеющее определенные функции, направленное на оптимизацию учебной деятельности
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по географии
Публикации по медицине
