Примеры с решениями

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции . Находим производную . Для нахождения интервалов возрастания функции решаем неравенство , , , получаем , на этих интервалах функция возрастает. Для нахождения интервалов убывания решаем неравенство , , , получаем , на этом интервале функция убывает.

Можно поступить и так: находим точки, в которых , , , . Эти точки отметим на числовой прямой и определим знаки производной на образовавшихся интервалах:

Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.

Ответ: функция возрастает на интервале и ; функция убывает на интервале

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции

Решение. Область определения функции . Находим производную , решаем уравнение ,

.

Изображаем область определения функции и наносим на нее точку , после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

Теперь видим, что на интервале функция убывает, а на интервале возрастает.

Ответ: функция возрастает на интервале , убывает на интервале

Пример 3. Найти экстремумы функции

Решение. Область определения функции . Находим производную . Находим критические точки: не существует при , при .

Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами экстремумы функции: .

Ответ:

Пример 4. Найти экстремумы функции .

Решение.

Критические точки:

Ответ: , .