Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если она определена на этом интервале ( ) и если для любых двух точек и , принадлежащих этому интервалу, из условия следует неравенство ( ).

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если она определена на этом интервале ( ) и если для любых двух точек и , принадлежащих этому интервалу, из условия следует неравенство ( ).

Функция называется монотонной на интервале , если она является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом интервале. Если функция возрастающая на или убывающая на , то ее называют строго монотонной на интервале .

Если функция дифференцируема и является возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, то ( ) для любого из этого промежутка. При этом точки, в которых не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке) .

Если функция дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то ( ) для любого из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции в промежутке.

Если в любой точке некоторого промежутка ( ), то в этом промежутке функция возрастает (убывает) − достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.

Рассмотрим функцию , непрерывную в точке . Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для все из этой окрестности . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

Если функция имеет в точке экстремум, то или не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются критическими или стационарными точками функции.

Если функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки ) и если при переходе через (слева направо):

1) меняет знак с «+» на «−», то – точка максимума функции,

2) меняет знак с «−» на «+», то – точка минимума функции,

3) не меняет знак, то в точке функция не имеет экстремума.

Если в критической точке функция дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:

1) если , то − точка максимума функции,

2) если , то − точка минимума функции.