Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

Рассмотрим проводник длинной l с током I, находящийся в одно-родном внешнем магнитном поле. Поле направлено перпендикулярно

плоскости рисунка « от нас» (рис. 2.3.1). Проводник не закреплен и под действием силы Ампера будет свободно перемещаться из поло-жения 1 в положение 2 параллельно самому себе на отрезок dx. Эле-ментарная работа, совершаемая магнитным полем равна:

где ldx = dS − площадь, пересекаемая проводником при его перемеще-нии в магнитном поле; Bds = dФ_m− поток вектора магнитной индук-ции, пронизывающий эту площадь.

_B

dS 1 2

F_A l

I

dx

Рис. 2.3.1

Если сила тока I в проводнике постоянна, то после интегрирова-ния (2.3.1) имеем:

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнит-ном поле проводника с постоянным током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, которую пересекает проводник при своем движении.

Определим величину работы сил Ампера при перемещении замкну-того контура ABCD в магнитном поле с постоянным током I (рис. 2.3.2). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка − за чертеж. Предположим, что контур ABCD перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение A′B′C′D′. Контур ABCD разобьем на два соединенных своими концами проводни-ка ABC и CDA. Работа, совершаемая силами Ампера при рассматривае-мом перемещении контура в магнитном поле равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC и CDA

При перемещении проводника CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения и образуют с направлением перемещения ост-рые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₂ > 0. Эта работа равна произведению силы тока в контуре на пересеченный проводником CDA при своем движении поток dФ_m2,следовательно

Силы, действующие на проводник ABC контура, направлены про-тив перемещения и образуют с направлением перемещения тупые уг-лы, поэтому dA₁ < 0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток dФ_m1, следовательно

Так как d Ф_m2 – dФ_m1 = dФ_т – изменение магнитного потока, про-низывающего поверхность, ограниченную контуром, при его переме-щении из положения ABCD в положение A′B′C′D′, то выражение для элементарной работы dA равно:

Таким образом, работа , совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.

Пусть вектор B магнитной индукции направлен перпендикуляр-но плоскости чертежа «от нас». В этом случае сила Ампера dF₂ , дей-

ствующая на элемент dl₂ проводника DNA, образует острый угол с на-правлением его перемещения dx₂ и совершает положительную рабо-

ту. В то же время сила dF₁ , действующая на элемент dl₁ проводника AMD,образует с направлением его перемещения dx₁тупой угол и со-

вершает отрицательную работу, т. е. dA₁ < 0, dA₂ > 0. Поэтому полная работа равна (см. формулу (2.3.3)):

где dФ_m1 – магнитный поток сквозь поверхность AMDD′M′A′; dФ_m2 – магнитный поток сквозь поверхность ANDD′N′ A′.

где dФ_т – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром, при перемещении его из положения C в поло-жение C′. Окончательное выражение для элементарной работы dA равно:

Таким образом, работа , совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.

Сила, действующая на движущуюся со скоростью υ заряженную частицу q со стороны магнитного поля индукцией В, называется си-

где α − угол между векторами υ и B.

Из соотношения (2.4.1) следует, что сила Лоренца всегда направ-лена перпендикулярно к направлению вектора скорости заряженной частицы и поэтому играет роль центробежной силы, которая не со-вершает работы.Эта сила только изменяет направление скорости

движения частицы в магнитном поле. Абсолютная величина скорости частицы и его кинетическая энергия при движении в магнитном поле

не изменяются.

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:

если сложенные вместе пальцы направить по движению положи-тельно заряженной частицы, а ладонь расположить так, чтобы ли-нии магнитной индукции входили в ладонь, то отогнутый на 90^о большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей со стороны магнитного поля. При движении отрицательно заряженнойчастицы эта сила направлена в противоположную сторону.

В общем случае на движущуюся заряженную частицу действуют

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заря-женной частицы. Поэтому она изменяет только направление скорости, не изменяя ее модуля, и, следовательно, она не совершает работы. Так как магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заря-женной частицей , то кинетическая энергия этой частицы при движе-нии в магнитном поле не изменяется.

Если магнитное поле однородно ( B = const) и на частицы не дей-ствует электрическое поле (или его действием можно пренебречь), то возможны три случая движения заряженных частиц в этом поле.

1. Заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линий магнитной индукции (α = 0 или α = π). Сила Лоренца F_Л равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует, и она движется равномерно

и прямолинейно.

2. Заряженная частица движется в магнитном поле перпендику-лярно линиям магнитной индукции (угол α = π/2). Сила Лоренца F = qBυпостоянна по модулю и нормальна к траектории частицы.Частица будет двигаться по окружности с нормальным ускорением a_n =υ²/R (рис. 2.4.1).Из второго закона Ньютона выразим радиус та-кой окружности:

Период вращения частицы будет равен:

q > 0

υ

B q < 0

Рис. 2.4.1

3.Заряженная частица движется под углом к линиям магнитной индукции. Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений: а) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью ^υ ; б) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю υ_⊥ .

Суммарное движение будет движением по винтовой траектории, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 2.4.2).

В

h

Радиус винтовой линии равен:

R = ^m_qB^υ⊥= ^mυ_qB^sinα.

Период вращение частицы

_{T =} 2πR ₌ 2πm _.

υ_⊥ qB

(2.4.7)

(2.4.8)

Шаг винтовой линии (расстояние, которое проходит частица вдоль оси винтовой линии за время равное периоду вращения)

Если магнитное поле неоднородно и заряженная частица движет-ся под углом к линиям магнитного поля в направлении возрастания поля, то радиус и шаг спирали уменьшаются с ростом индукции маг-нитного поля. На этом основана фокусировка пучка заряженных час-тиц магнитным полем.

Закономерности движения заряженных частиц в магнитных и электрических полях легли в основу масс-спектрометрии, метода оп-ределения массы ионов. На рис. 2.4.3 представлен масс-спектрограф Бейнбриджа.

(q/m)₁ (q/m)₂

Ф

Рис. 2.4.3

В нем пучок ионов проходит сначала через так называемый селек-тор (или фильтр) скоростей, который выделяет из пучка ионы с опреде-ленным значением скорости. В селекторе ионы подвергаются одновре-менному воздействию взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей, отклоняющих ионы в противоположные стороны. Через выходную щель селектора проходят только те ионы, для которых действия электрического и магнитного полей компенсируют друг друга.

Это происходит при условии, что qЕ = qυB. Следовательно, скорости вышедших из селектора ионов, независимо от их массы и заряда, имеют одинаковое значение, равное υ = Е/В. Выйдя из селектора, ионы попа-дают в область перпендикулярного к их скорости однородного магнит-ного поля с индукцией В₁. В этом поле они движутся по окружностям, радиусы которых зависят от q/т, согласно формуле (2.4.10)

Описав половину окружности, ионы попадают на фотопластинку на расстояниях от щели, равных 2R. Следовательно, ионы каждого сорта (определяемого значением q/т) оставляют на пластинке след в виде уз-кой полоски. Зная параметры прибора, можно вычислить удельные за-ряды ионов. Поскольку заряды ионов являются целыми кратными эле-ментарного заряда е, то по найденным значениям q/т можно определить массы ионов. В настоящее время имеется много типов усовершенство-ванных масс-спектрографов. Созданы также приборы, в которых ионы регистрируются с помощью электрического устройства, а не фотопла-стинки. Они получили название масс-спектрометров.

Эффект Холла.

Американский физик Э. Холл обнаружил, что в пластинке металла (или в полупроводника) с током I, помещенной в магнитное поле B, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном на-правлению тока и вектору B, т. е. на противоположных гранях пла-стинки между точками А и С (рис. 2.5.1) возникает разность потен-циалов . Возникновение разности потенциалов Δϕ = ϕ_А – ϕ_С в этом случае носит название эффекта Холла.

I

Рис. 2.5.1

Рассмотрим металлическую пластину толщиной b, по которой проходит ток I , помещенную в магнитное поле так, чтобы ее горизон-тальные грани были параллельны плоскости, образованной векторами плотности тока j и вектором магнитной индукции B. В отсутствие

магнитного поля разность потенциалов между точками A и С равна нулю (ϕ_A = ϕ _C), поскольку точки А и С лежат на эквипотенциальной поверхности, перпендикулярной вектору E . При наличии магнитного поля возникает разность потенциалов Δϕ = ϕ_А – ϕ _С.

где R − постоянная Холла.

Классическая электронная теория позволяет достаточно просто объяснить возникновение холловской разности потенциалов Δϕ_H. Пусть сила тока I обусловлена упорядоченным движением свободных носителей заряда q, концентрация которых п, средняя скорость дрейфа u.Тогда плотность тока

При включении магнитного поля на каждый заряд q, движущийся со скоростью u, будет действовать сила Лоренца

которая вызовет отклонение положительных зарядов (q > 0) к одной грани пластинки, а отрицательных зарядов (q < 0) − к другой. В ре-зультате у верхней грани образуется избыточный положительный за-ряд, а у нижней грани − отрицательный. Появятся поперечное элек-трическое поле Е* и соответствующая ему электрическая сила:

Когда напряженность этого поперечного поля достигнет такой ве-личины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Ло-ренца, установится стационарное распределение зарядов в попереч-ном направлении. Тогда

Сравнивая (2.5.1) и (2.5.2) получаем, что постоянная Холла равна:

Поскольку концентрация п − положительная величина, знак по-стоянной R определяется знаком заряда q свободных носителей заряда в материале пластинки. Если постоянную Холла измерить на опыте, то по формуле (2.5.6) можно рассчитать концентрацию носителей за-

ряда. Когда электропроводность материала определяется зарядами обоих знаков, то по знаку постоянной Холла можно судить о том, ка-кие заряды вносят преобладающий вклад в удельную электрическую проводимость у исследуемого проводника. Для полупроводников знак постоянной Холла определяет тип проводимости (R < 0 − электрон-

ная, R > 0 − дырочная).

Определение значения постоянной Холла для электронных про-водников позволяет определить среднюю длину свободного пробега электронов λ . Эффект Холла также широко используется для измере-ния индукции В магнитных полей.