Линеаризация непрерывных гладких нелинейных характеристик

Существует большой класс нелинейных систем, содержащих так называемые слабые нелинейности, имеющих непрерывные гладкие характеристики, которые при определенных допущениях можно линеаризовать, т.е. систему сделать линейной в математическом смысле. К настоящему времени известно 4 способа (методики) составления линеаризованных уравнений. Рассмотрим их последовательно.
Первый, аналитический способ линеаризации, называемый также методом малых отклонений, состоит в следующем:
1) определяется рабочая точка установившегося режима работы звена (х₀,у₀), в которой необходимо определить его поведение при малых отклонениях от установившегося режима (рис. 4.7);

Рис. 4.7 - Линеаризация слабой нелинейности

2) нелинейная зависимость у = F(x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки (х₀,у₀), в этом разложении отбрасываются члены выше первого порядка малости и получается следующая приближенная зависимость
3) полученное приближенное уравнение переписывается в виде
(4.9)
где
Часто в уравнениях вида (4.9) знак ∆ опускают и рассматривают линеаризованное уравнение в малых отклонениях, или, как еще говорят, в вариациях:
y = k•x. (4.10)

Рассмотрим в изложенной последовательности более общий случай, когда звено (система) описывается нелинейным уравнением вида
(4.11)
Разлагая, как и прежде, нелинейную функцию в ряд Тейлора в
точке установившегося режима, получим
(4.12)
или

где R_n - остаточный член, определяющий члены порядка малости п≥2.
Из уравнения (4.12) вычтем уравнение (4.11) для установившегося режима работы САУ, т.е. вычтем F(x₀,0,y₀,0,0,...) = 0, и, опуская знак ∆ и отбрасывая R_n, получим линеаризованное дифференциальное уравнение динамики звена в малых отклонениях в виде (2.36) или операторной форме (2.37).
Допустимость такой линеаризации ограничена следующими условиями:
- она применима только к непрерывным дифференцируемым нелинейностям;
- она применима только для малых отклонений, т.е. полученные линеаризованные уравнения пригодны для приближенного исследования таких режимов работы системы, при которых переменные величины на ее входе имеют достаточно малые отклонения от установившихся значений, при этом точность исследования растет с уменьшением величины отклонений.
По второму, графическому способу линеаризация осуществляется на основе уравнений (4.10), (2.36) без проведения предварительных выкладок, с использованием графического смысла линеаризации. Суть состоит в замене кривой искомого решения нелинейных уравнений (4.1), (4.11) прямой, касательной к искомой кривой в точке (x₀, у₀), соответствующей начальным условиям. Угол, составленный этой касательной и осью абсцисс, будет равен (рис. 4.7). Очевидно, что такая замена справедлива только для тех отклонений ∆х, при которых кривая незначительно отклоняется от касательной. Допустимая область отклонений и определяет возможности линеаризации нелинейной системы, при этом вместо частных производных находят частные разности.
Для уравнений (4.10) и (2.36), записанных в отклонениях, графически это означает перенос начала координат в точку 0(x₀,y₀). Для реальных систем результат подобной линеаризации часто справедлив для достаточно больших значений отклонений; чем больше значения этих отклонений, тем больше к данным системам применим термин "линейная система" и тем больше степень достоверности результатов исследования САУ, полученных с помощью теории линейных систем.
Третий способ объединяет рассмотренные выше способы и предлагает сразу записывать уравнения линеаризуемого звена (системы) в отклонениях.
Четвертый способ линеаризации основан на использовании метода наименьших квадратов для определения коэффициентов уравнений (4.10) и (2.36).

Рис 4.8 - Схема генератора постоянного тока

Рассмотрим в качестве примера вывод линеаризованного уравнения генератора постоянного тока (рис. 4.8). Такой генератор может входить в состав САУ, приведенной на рис. 2.3, в качестве электромашинного усилителя мощности.
Входной величиной генератора является напряжение возбуждения U_B, а выходной - напряжение на его выходных зажимах U. Скорость вращения якоря Ω и величину сопротивления нагрузки R_H будем считать постоянными. Реакция якоря предполагается скомпенсированной и не учитывается.
Напряжение генератора равно

где Е - э.д.с. генератора; R_a - сопротивление цепи якоря генератора; R_H - сопротивление нагрузки.
Э.д.с. генератора пропорциональна скорости вращения якоря и магнитному потоку, т.е.

где Ω - угловая скорость вращения якоря; Ф - взаимодействующая с якорем часть магнитного потока, создаваемого обмоткой возбуждения; С₁ - коэффициент, постоянный для данной машины.
Поток Ф является функцией тока возбуждения, т.е.
Ф = F(I_B). (4.13)
Эта зависимость нелинейна (рис. 4.9).

Рис. 4.9 - Нелинейная функция тока генератора

В свою очередь, напряжение возбуждения U_в зависит от тока возбуждения: U_в = , где I_в - ток возбуждения; Rв- сопротивление цепи возбуждения; σ - число витков обмотки возбуждения; - коэффициент рассеяния магнитного потока, с помощью которого полный поток, создаваемый обмоткой возбуждения, выражается в виде σФ ( σ > 1). Таким образом, полученные четыре уравнения в совокупности определяют искомую зависимость U от U_в через промежуточные переменные Е, Ф и I_в. Эта зависимость нелинейна из-за нелинейности характеристики намагничивания генератора (4.13) и обусловлена насыщением магнитной цепи, а также гистерезисом. Петля гистерезиса (рис. 4.9) узка, ею можно пренебречь и ограничиться основной кривой намагничивания, показанной на рис. 4.9 сплошной линией. Переходя в уравнениях к приращениям переменных, получим следующую систему линейных уравнений:

где (dФ/dI_в)₀ определяется как тангенс угла наклона касательной к основной кривой намагничивания в точке установившегося режима (рис. 4.9).
Исключив из системы (4.14) промежуточные переменные ∆Е, ∆Ф и ∆I_в получим искомое линеаризованное уравнение, связывающее ∆U с ∆U_в:
(Tвp+1) ∆U=k_в1∆U_в, (4.15)
где Тв - постоянная времени цепи возбуждения:

k_в1 - коэффициент передачи генератора по возбуждению:

Заметим, что Тв и k_в1 зависят от выбранной точки установившегося режима, в которой осуществляется линеаризация.
Если перейти к относительным единицам, то линеаризованное уравнение (4.15) примет следующий вид:
(Tвp +1)u = k_в2U_в, (4.16)
где u=∆U/U_в; U_в=∆U_в/U_в0; k_в2=k_в1U_в0/U_в.
С использованием оператора передаточной функции получим следующее выражение:
u=Wв(p)U_в, (4.17)
где

В заключение отметим, что при выводе уравнений (4.16), (4.17) скорость вращения якоря и сопротивление нагрузки были приняты постоянными. Если учесть их непостоянство, то в правой части этих уравнений появятся дополнительно второй и третий члены.
Изложенные выше способы линеаризации относительно рабочей точки установившегося режима или положения равновесия нелинейной системы можно без труда обобщить, проводя линеаризацию относительно некоторого решения или траектории движения системы. Этот прием успешно применяется, например, в задачах космической навигации, когда известна расчетная траектория движения объекта (космического корабля). После линеаризации исходных уравнений оказывается возможным определить управляющие воздействия, которые будут удерживать космический корабль вблизи расчетной траектории.
Анализируя полученные линеаризованные уравнения, можно оценить влияние ошибок при задании начальных условий и параметров объекта, определить функции чувствительности.
Полученные при линеаризации линейные уравнения, как правило, нестационарны, а имеющиеся теоретические результаты исследования линейных систем (см. раздел 3) относятся в основном к стационарным линейным системам.
Для нестационарных систем теория, с одной стороны, находится в стадии разработки, а с другой - сложна в приложениях. И самое главное, в случае нестационарной системы следует постоянно помнить о степени малости и задавать себе вопрос, достаточно ли малы изменения переменных и остаются ли они в области, где линеаризованные уравнения справедливы.
Если имеются сомнения, то решения линеаризованного уравнения должны постоянно сравниваться с численным решением исходного нелинейного уравнения.
Если линеаризованные уравнения адекватны решаемой нелинейной задаче, то их полное решение может быть легко выписано, а изложенные в разделах 2 и 3 методики удобны для их исследования.
Ситуация совсем иная, если дифференциальные уравнения звеньев, а значит и системы в целом, не линеаризуются переходом к малым колебаниям около положения исследуемого равновесия. Не только общее решение, но даже поиск периодических решений является сложной и не всегда преодолеваемой до искомого решения задачей. Теория нелинейных САУ создавалась путем постепенного преодоления этих трудностей.

Устойчивость нелинейных систем