Второй (прямой) метод Ляпунова


Второй метод Ляпунова связан с физическими представлениями о равновесии материальной точки в консервативном силовом поле. Из физики известно, что точки минимума потенциальной энергии являются положениями устойчивого равновесия материальной точки (рис. 3.6, а), а точки максимума потенци альной энергии - положениями неустойчивого равновесия (рис. 3.6, б). Основная идея второго метода Ляпунова состоит в нахождении такой функции координат точки пространства со стояний системы V(η1,...,ηn) , которая была бы до некоторой степени аналогична потенциальной энергии покоящейся материальной точки в обычном пространстве.

Введем некоторые определения.

Функция V(η1,...,ηn) называется знакопостоянной, если она имеет один и тот же знак всюду в некоторой области, содержащей начало координат, за исключением некоторых точек, в которых она равна нулю.

Знакопостоянная функция, равная нулю лишь в начале координат, называется знакоопределенной : определенно - положительной или определенно - отрицательной, в зависимости от знака. Например, в трехмерном пространстве (n = 3) функция

V = а2η12 + b2η22 + c2η32 является знакоопределенной функцией, а функция V = (η1 + η2)2 + c2η32 - знакопостоянной функцией, которая обращается в нуль на прямой η2 = -η1 и η3 = 0
A.M. Ляпунов доказал следующие две теоремы.
Теорема 4.3. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, полная производная которой по времени

(4.27)
в силу этих уравнении знакопостоянна и имеет знак, противоположный знаку функции V , или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Доказательство теоремы. Выбираем произвольное достаточно малое ε > 0 и построим сферу

(Рис. 4.12)

Рис. 4.12 - Устойчивость по Ляпунову

Затем построим поверхность V = С, лежащую внутри сферы ε. Это можно всегда сделать, так как функция V непрерывна и равна нулю в начале координат. Выбеоем теперь число δ настолько малым, чтобы сфера целиком лежала внутри поверхности V = С, не имея с ней общих точек. Покажем, что изображающая точка М, начав движение из сферы δ никогда не дойдет до сферы ε, что и будет служить доказательством Устойчивости движения.
Не нарушая общности, можно считать, что функция V определенно-положительная (если V<0, то можно взять функцию минус V).

По условию теоремы ее производная, вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, будет отрицательной или тождественно равной нулю функцией V≤0, т.е. функция V(η(t)) - невозрастающая функция. Тогда из соотношения , где V0 - значение V в точке М0, будем иметь V - V0≤ 0, или V ≤ V0. Отсюда следует, что при t≥t0 изображающая точка М либо находится на поверхности V = V0 = C1 (при 0), либо внутри этой поверхности. Таким образом, изображающая точка М, начав движение из точки М0 принадлежащей сфере δ, никогда не выйдет за пределы поверхности V = С1, и тем более не сможет достичь сферы ε.
Приведем пример, иллюстрирующий теорему 4.3.
Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид:

Возьмем определенно-положительную функцию

и вычислим ее производную по времени. В силу уравнений возмущенного движения имеем . Подставляя вместо и их значения из уравнений возмущенного движения, получим

Так как функция V определенно-положительная, а ее производная отрицательная функция, то выполнены условия теоремы Ляпунова об устойчивости движения и, следовательно, невозмущенное движение η1=0, ┧2=0 устойчиво.
Теорема 4.4. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, полная производная которой по времени в силу этих уравнений знакоопределенна и имеет знак, противоположный знаку функции V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Геометрическая иллюстрация теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости может быть представлена тем же рис.4.12, но с той разницей, что при V > 0 имеем < 0. При этом по свойству (4.27) фазовая траектория, пересекая поверхности V=const извне внутрь, не может оставаться на них, а пойдет внутрь до начала координат, ηi=0 (i=1,...,n) и V=0 . Ход аналитического доказательства теоремы 4.4 остается тем же, что и теоремы 4.3, но с изменением неравенств "≤" на " < ".
Функции V, удовлетворяющие условиям теорем 4.3, 4.4, называются функциями Ляпунова.
Второй (прямой) метод оценки устойчивости по Ляпунову дает достаточные условия устойчивости, т.е. движение системы может быть устойчивым и при невыполнении условий теорем 4.3, 4.4 Ляпунова.
Метод исследования устойчивости с помощью функции Ляпунова V(η1,...,ηn) эффективен и применим к любым нелинейным системам, так как он не накладывает каких-либо ограничений на правые части уравнений движения системы. Однако практическое применение этого метода осложнено трудностью нахождения функции Ляпунова V(η1,...,ηn). Общих рекомендаций по нахождению этой функции для произвольных систем не существует. A.M. Ляпунов указал один метод нахождения функции V для линейных систем.
Для иллюстрации идеи второго (прямого) метода Ляпунова рассмотрим простой пример. Пусть имеется система уравнений

где - положительные постоянные коэффициенты.
Предложим для этой системы следующую функцию:

(4.29)
Ее производная равна
Подставив сюда выражение (4.28), получим

Производная
т.е. внутри эллипса движение устойчиво и фазовые траектории скручиваются к началу координат. Движение вне этого эллипса неустойчиво. Сам эллипс представляет собой неустойчивый предельный цикл.
Этот пример иллюстрирует редкий (счастливый) случай, когда не только находится функция Ляпунова, но и полностью определяется область, внутри которой состояние равновесия остается устойчивым.

 



Дата добавления: 2021-04-21; просмотров: 508;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.