Последовательность импульсов произвольной формы.

При любом изменении формы импульсов должны измениться модель сигнала и результаты интегрирования по формулам Фурье. Это приведет к изменению АЧС и ФЧС. Неизменными останутся следующие свойства спектров:

1) АЧС любой периодической последовательности имеет линейчатую (дискретную) и лепестковую структуру;

2) чем короче импульсы, тем шире спектр ;

3) чем "реже" следуют импульсы (больше и меньше ,тем "гуще" спектр – ближе друг к другу спектральные линии;

4) изменение формы импульса вызывает деформацию огибающей АЧС . 1

Одиночный импульс.

Для перехода от периодической последовательности к одиночному импульсу (рис. 3.16, б) надо неограниченно увеличивать период ( ). При этом происходят следующие изменения в спектре: . |

1. Интервал между спектральными линиями, равный ,сокращается, и в пределе они сливаются. Линейчатый спектр превращается в сплошной, для которого понятие "гармоника" теряет смысл, так как частоты , на которых обнаруживается напряжение, принимают любые значения. Поэтому в уравнении АЧС − надо заменить на (или на ). Частота как интервал между гармониками становится бесконечно малой. Обозначим ее .

2. Значения составляющих по мере увеличения Т уменьшаются, становясь в сплошном спектре бесконечно малыми. Действительно,

3. Форма огибающей спектра не изменяется, так как частоты нулевых точек, равные при неизменной длительности импульса , не смещаются.

4. Ряд Фурье превращается в интеграл Фурье, так как слагаемые становятся бесконечно малыми, а функция − непрерывной. Этот переход приводит к следующему результату. Из формулы ряда Фурье для периодического сигнала

переходя к одиночному импульсу, получаем формулу

где − спектральная плотность (или спектральная характеристика) импульса . Ее значение на произвольной частоте (или ) равно амплитуде колебания, приходящейся на 1 рад/с (или 1 Гц) в бесконечно узкой части спектра, содержащей частоту .

В ходе преобразования выражений следует учесть, что для одиночного импульса и . Кроме того, надо разделить на , считая коэффициентом, и умножить подынтегральное выражение на , заменив его на . Внеся период под знак интеграла и обозначив , убедимся в том, что огибающие спектров совпадают по форме и отличаются лишь масштабом, а также в том, что размерность в В/Гц.

Обратное преобразование Фурье. Гармонический анализ − нахождение по заданной модели сигнала частотного спектра − называется прямым преобразованием Фурье. Для решения обратной задачи − синтеза сигнала соответствующего заданному спектру , требуется обратное преобразование. Его можно произвести способом замены переменной. Действительно, если в уравнении переменную заменить на , а в уравнении заменить на , то графики не изменятся, но спектр и модель сигнала "поменяются местами". В качестве примера на рис. 3.16, в показан результат обратного преобразования. Найден сигнал , спектр которого является равномерным от нуля до частоты . Поскольку огибающая спектра имеет форму прямоугольника, модель сигнала . Такой подход позволяет определять сигналы, обладающие оптимальным для заданных условий частотным спектром.